Решение задачи Коши x'' + 6x' = 4t операционным методом

Для решения задачи Коши \( x'' + 6x' = 4t \) с начальными условиями \( x(0) = 6, x'(0) = 6 \) операционным методом, выполним следующие шаги: 1. Переход к операторному уравнению. Используем формулы дифференцирования оригинала: \( x'(t) \fallingdotseq pX(p) - x(0) = pX(p) - 6 \) \( x''(t) \fallingdotseq p^2X(p) - px(0) - x'(0) = p^2X(p) - 6p - 6 \) Правая часть: \( 4t \fallingdotseq \frac{4}{p^2} \) Подставляем в уравнение: \[ (p^2X(p) - 6p - 6) + 6(pX(p) - 6) = \frac{4}{p^2} \] \[ (p^2 + 6p)X(p) - 6p - 6 - 36 = \frac{4}{p^2} \] \[ p(p + 6)X(p) = \frac{4}{p^2} + 6p + 42 \] \[ p(p + 6)X(p) = \frac{4 + 6p^3 + 42p^2}{p^2} \] Выражаем \( X(p) \): \[ X(p) = \frac{6p^3 + 42p^2 + 4}{p^3(p + 6)} \] 2. Разложение на простейшие дроби. Ищем разложение в виде: \[ \frac{6p^3 + 42p^2 + 4}{p^3(p + 6)} = \frac{A}{p^3} + \frac{B}{p^2} + \frac{C}{p} + \frac{D}{p + 6} \] Приведем к общему знаменателю: \[ 6p^3 + 42p^2 + 4 = A(p + 6) + Bp(p + 6) + Cp^2(p + 6) + Dp^3 \] При \( p = 0 \): \( 4 = 6A \Rightarrow A = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) При \( p = -6 \): \( 6(-216) + 42(36) + 4 = D(-216) \Rightarrow -1296 + 1512 + 4 = -216D \Rightarrow 220 = -216D \Rightarrow D = -\frac{220}{216} = -\frac{55}{54} \) Коэффициент при \( p^3 \): \( 6 = C + D \Rightarrow C = 6 - (-\frac{55}{54}) = \frac{324 + 55}{54} = \frac{379}{54} \) Коэффициент при \( p \): \( 0 = A + 6B \Rightarrow 6B = -\frac{2}{3} \Rightarrow B = -\frac{1}{9} \) Итоговое разложение: \[ X(p) = \frac{2/3}{p^3} + \frac{-1/9}{p^2} + \frac{379/54}{p} + \frac{-55/54}{p + 6} \] 3. Восстановление оригинала \( x(t) \). Используем таблицу обратного преобразования Лапласа: \( \frac{1}{p} \fallingdotseq 1 \), \( \frac{1}{p^2} \fallingdotseq t \), \( \frac{1}{p^3} \fallingdotseq \frac{t^2}{2} \), \( \frac{1}{p+6} \fallingdotseq e^{-6t} \) \[ x(t) = \frac{2}{3} \cdot \frac{t^2}{2} - \frac{1}{9}t + \frac{379}{54} - \frac{55}{54}e^{-6t} \] \[ x(t) = \frac{1}{3}t^2 - \frac{1}{9}t + \frac{379}{54} - \frac{55}{54}e^{-6t} \] Ответы для полей ввода: \( X(p) = \frac{6p^3 + 42p^2 + 4}{p^3(p + 6)} \) Коэффициенты разложения: \( \frac{2}{3} \), \( -\frac{1}{9} \), \( \frac{379}{54} \), \( -\frac{55}{54} \) Оригинал: \( x(t) = \frac{1}{3}t^2 - \frac{1}{9}t + \frac{379}{54} - \frac{55}{54}e^{-6t} \)