Решение задачи интегралом Дюамеля

Для решения данной задачи воспользуемся интегралом Дюамеля. 1. Запишем операторное уравнение для вспомогательной задачи: \[ x_1'' + 5x_1 = 1, \quad x_1(0) = 0, \quad x_1'(0) = 0 \] Переходим к изображениям: \[ p^2 X_1(p) + 5 X_1(p) = \frac{1}{p} \] Выносим \( X_1(p) \) за скобки: \[ (p^2 + 5) \cdot X_1(p) = \frac{1}{p} \] В поля ввода записываем: \( p^2 + 5 \) и \( \frac{1}{p} \). 2. Найдем решение вспомогательной задачи \( x_1(t) \): \[ X_1(p) = \frac{1}{p(p^2 + 5)} \] Разложим на простейшие дроби: \[ \frac{1}{p(p^2 + 5)} = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{p} - \frac{p}{p^2 + 5} \right) \] Переходим к оригиналам: \[ x_1(t) = \frac{1}{5} (1 - \cos(\sqrt{5}t)) \] Теперь найдем производную \( x_1'(t) \): \[ x_1'(t) = \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{5}\cos(\sqrt{5}t) \right)' = 0 - \frac{1}{5} \cdot (-\sin(\sqrt{5}t)) \cdot \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5}}{5} \sin(\sqrt{5}t) \] В поле ввода для \( x_1'(t) \) записываем: \( \frac{\sqrt{5}}{5} \sin(\sqrt{5}t) \). 3. Используем формулу Дюамеля для нахождения решения основной задачи: Формула Дюамеля имеет вид: \[ x(t) = \int_{0}^{t} f(\tau) x_1'(t - \tau) d\tau \] Где \( f(t) = \frac{28}{1 + \cos^2(t)} \). Подставим наши функции: \[ x(t) = \int_{0}^{t} \frac{28}{1 + \cos^2(\tau)} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} \sin(\sqrt{5}(t - \tau)) d\tau \] В поле ввода для интеграла записываем: \[ \frac{28\sqrt{5}}{5(1 + \cos^2(\tau))} \sin(\sqrt{5}(t - \tau)) \] Ответы для заполнения: 1. Операторное уравнение: \( p^2 + 5 \) и \( \frac{1}{p} \) 2. Производная: \( \frac{\sqrt{5}}{5} \sin(\sqrt{5}t) \) 3. Под интегралом: \( \frac{28\sqrt{5} \sin(\sqrt{5}(t - \tau))}{5(1 + \cos^2(\tau))} \)