Решение:

Для решения задачи Коши операционным методом воспользуемся преобразованием Лапласа. Дано уравнение: \[ x'' + 16x' = e^{4t} \] Начальные условия: \[ x(0) = 13, \quad x'(0) = 6 \] 1. Найдем изображения для левой части уравнения. Используем теорему о дифференцировании оригинала: Для первой производной: \[ x'(t) \fallingdotseq p \cdot X(p) - x(0) \] Подставляем \( x(0) = 13 \): \[ x'(t) \fallingdotseq p \cdot X(p) - 13 \] Для второй производной: \[ x''(t) \fallingdotseq p^2 \cdot X(p) - p \cdot x(0) - x'(0) \] Подставляем \( x(0) = 13 \) и \( x'(0) = 6 \): \[ x''(t) \fallingdotseq p^2 \cdot X(p) - 13p - 6 \] Заполняем пустые поля для левой части: \( x''(t) \fallingdotseq p^2 \cdot X(p) + (-13p - 6) \) \( x'(t) \fallingdotseq p \cdot X(p) + (-13) \) 2. Найдем изображение для правой части уравнения. По таблице преобразований Лапласа для экспоненты \( e^{at} \fallingdotseq \frac{1}{p - a} \): \[ e^{4t} \fallingdotseq \frac{1}{p - 4} \] 3. Запишем операторное уравнение. Подставим полученные изображения в исходное дифференциальное уравнение: \[ (p^2 \cdot X(p) - 13p - 6) + 16(p \cdot X(p) - 13) = \frac{1}{p - 4} \] Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые при \( X(p) \): \[ p^2 \cdot X(p) - 13p - 6 + 16p \cdot X(p) - 208 = \frac{1}{p - 4} \] \[ (p^2 + 16p) \cdot X(p) - 13p - 214 = \frac{1}{p - 4} \] Перенесем свободные члены в правую часть: \[ (p^2 + 16p) \cdot X(p) = \frac{1}{p - 4} + 13p + 214 \] Итоговое операторное уравнение для ввода: \[ (p^2 + 16p) \cdot X(p) = \frac{1}{p - 4} + 13p + 214 \]