Вероятность вхождения в промежуток

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. Заголовок: Вероятность вхождения в промежуток Одним из ключевых свойств функции распределения является то, что вероятность того, что случайная величина попадёт в некоторый промежуток \([a, b]\), можно найти как разность значений функции распределения на концах этого промежутка. Для случайной величины \(X\), вероятность того, что она примет значение в пределах от \(a\) до \(b\), вычисляется по следующей формуле: \[P(a \le X \le b) = F(b) - F(a).\] Этот принцип работает как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, хотя в случае непрерывных величин он особенно важен, поскольку вероятность того, что случайная величина примет точное значение, равна нулю, и нас больше интересуют вероятности на интервалах. Предположим, что функция распределения случайной величины \(X\) дана как \(F(x)\), и она описывает время ожидания автобуса, равномерно распределённое в интервале от 0 до 10 минут. Тогда вероятность того, что автобус приедет в промежутке от 2 до 5 минут, можно найти так: \[P(2 \le X \le 5) = F(5) - F(2).\] Изучите текст и решите задачу. Задача: (Текст задачи отсутствует на изображении, но предполагается, что она будет связана с вычислением вероятности попадания в промежуток, используя функцию распределения.) Предположим, что задача звучит так: "Используя информацию из примера, найдите вероятность того, что автобус приедет в промежутке от 3 до 7 минут." Решение: 1. **Определим случайную величину и её распределение:** Случайная величина \(X\) — время ожидания автобуса. Распределение: равномерное в интервале от 0 до 10 минут. То есть \(X \in [0; 10]\). 2. **Вспомним формулу для вероятности попадания в промежуток:** \[P(a \le X \le b) = F(b) - F(a).\] 3. **Найдем функцию распределения \(F(x)\) для равномерного распределения на \([0; 10]\).** Для равномерного распределения на интервале \([A; B]\) функция распределения \(F(x)\) определяется так: * \(F(x) = 0\), если \(x < A\) * \(F(x) = \frac{x - A}{B - A}\), если \(A \le x \le B\) * \(F(x) = 1\), если \(x > B\) В нашем случае \(A = 0\) и \(B = 10\). Значит, для \(0 \le x \le 10\): \[F(x) = \frac{x - 0}{10 - 0} = \frac{x}{10}.\] 4. **Вычислим \(F(7)\) и \(F(3)\).** Нам нужно найти вероятность \(P(3 \le X \le 7)\). Для этого нам понадобятся \(F(7)\) и \(F(3)\). Поскольку \(3\) и \(7\) находятся в интервале \([0; 10]\): \[F(7) = \frac{7}{10} = 0,7.\] \[F(3) = \frac{3}{10} = 0,3.\] 5. **Применим формулу для вероятности вхождения в промежуток:** \[P(3 \le X \le 7) = F(7) - F(3) = 0,7 - 0,3 = 0,4.\] Ответ: Вероятность того, что автобус приедет в промежутке от 3 до 7 минут, равна 0,4.