Решение задачи Коши операторным методом

Для решения задачи Коши операторным методом выполним следующие шаги: 1. Перейдем к операторному уравнению. Дано уравнение: \( x'' + 4x' = 4t \) с начальными условиями \( x(0) = 3, x'(0) = 7 \). Используем формулы преобразования Лапласа: \( x'(t) \fallingdotseq pX(p) - x(0) = pX(p) - 3 \) \( x''(t) \fallingdotseq p^2X(p) - px(0) - x'(0) = p^2X(p) - 3p - 7 \) \( 4t \fallingdotseq \frac{4}{p^2} \) Подставим в уравнение: \[ (p^2X(p) - 3p - 7) + 4(pX(p) - 3) = \frac{4}{p^2} \] \[ p^2X(p) - 3p - 7 + 4pX(p) - 12 = \frac{4}{p^2} \] \[ (p^2 + 4p)X(p) = \frac{4}{p^2} + 3p + 19 \] \[ (p^2 + 4p)X(p) = \frac{4 + 3p^3 + 19p^2}{p^2} \] Выразим \( X(p) \), учитывая что \( p^2 + 4p = p(p+4) \): \[ X(p) = \frac{3p^3 + 19p^2 + 4}{p^3(p + 4)} \] 2. Разложим дробь на сумму простейших дробей. \[ \frac{3p^3 + 19p^2 + 4}{p^3(p + 4)} = \frac{A}{p^3} + \frac{B}{p^2} + \frac{C}{p} + \frac{D}{p + 4} \] Приведем к общему знаменателю: \[ 3p^3 + 19p^2 + 4 = A(p+4) + Bp(p+4) + Cp^2(p+4) + Dp^3 \] Находим коэффициенты: При \( p = 0 \): \( 4 = 4A \Rightarrow A = 1 \) При \( p = -4 \): \( 3(-64) + 19(16) + 4 = D(-64) \Rightarrow -192 + 304 + 4 = -64D \Rightarrow 116 = -64D \Rightarrow D = -\frac{29}{16} \) Коэффициент при \( p^3 \): \( 3 = C + D \Rightarrow C = 3 - (-\frac{29}{16}) = \frac{48 + 29}{16} = \frac{77}{16} \) Коэффициент при \( p \): \( 0 = A + 4B \Rightarrow 4B = -1 \Rightarrow B = -\frac{1}{4} \) Получаем разложение: \[ X(p) = \frac{1}{p^3} + \frac{-1/4}{p^2} + \frac{77/16}{p} + \frac{-29/16}{p + 4} \] 3. Восстановим оригинал \( x(t) \). Используем таблицу обратных преобразований: \( \frac{1}{p} \fallingdotseq 1 \), \( \frac{1}{p^2} \fallingdotseq t \), \( \frac{1}{p^3} \fallingdotseq \frac{t^2}{2} \), \( \frac{1}{p+a} \fallingdotseq e^{-at} \) \[ x(t) = \frac{t^2}{2} - \frac{1}{4}t + \frac{77}{16} - \frac{29}{16}e^{-4t} \] Ответы для полей ввода: 1. \( X(p) = \frac{3p^3 + 19p^2 + 4}{p^3(p + 4)} \) 2. Коэффициенты разложения: \( \frac{1}{p^3} + \frac{-0.25}{p^2} + \frac{4.8125}{p} + \frac{-1.8125}{p + 4} \) (или в дробях: \( 1, -1/4, 77/16, -29/16 \)) 3. \( x(t) = 0.5t^2 - 0.25t + 4.8125 - 1.8125e^{-4t} \)