Решение задачи интегралом Дюамеля

Для решения данной задачи воспользуемся интегралом Дюамеля. 1. Запишем операторное уравнение для вспомогательной задачи: \[ x'' + 4x = 1, \quad x(0) = 0, \quad x'(0) = 0 \] Применяя преобразование Лапласа, где \( x(t) \fallingdotseq X_1(p) \), \( x'(t) \fallingdotseq pX_1(p) \), \( x''(t) \fallingdotseq p^2X_1(p) \) (так как начальные условия нулевые), и \( 1 \fallingdotseq \frac{1}{p} \), получаем: \[ (p^2 + 4) \cdot X_1(p) = \frac{1}{p} \] В поля ввода: \( p^2 + 4 \) и \( \frac{1}{p} \). 2. Найдем частное решение вспомогательной задачи \( x_1(t) \): \[ X_1(p) = \frac{1}{p(p^2 + 4)} \] Разложим на элементарные дроби: \[ \frac{1}{p(p^2 + 4)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{p} - \frac{p}{p^2 + 4} \right) \] Переходя к оригиналам: \[ x_1(t) = \frac{1}{4} (1 - \cos(2t)) \] Теперь найдем производную \( x_1'(t) \): \[ x_1'(t) = \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\cos(2t) \right)' = 0 - \frac{1}{4}(-\sin(2t) \cdot 2) = \frac{1}{2}\sin(2t) \] В поле ввода для \( x_1'(t) \): \( \frac{1}{2}\sin(2t) \) 3. Используем формулу Дюамеля для нахождения решения основной задачи: Формула Дюамеля при нулевых начальных условиях имеет вид: \[ x(t) = \int_{0}^{t} f(\tau) x_1'(t - \tau) d\tau \] Где \( f(t) = \frac{33}{1 + \cos^2(t)} \). Подставляем наши значения: \[ x(t) = \int_{0}^{t} \frac{33}{1 + \cos^2(\tau)} \cdot \frac{1}{2}\sin(2(t - \tau)) d\tau \] Упростим выражение под интегралом: \[ x(t) = \int_{0}^{t} \frac{33 \sin(2(t - \tau))}{2(1 + \cos^2(\tau))} d\tau \] В поле ввода для интеграла: \( \frac{33 \sin(2(t - \tau))}{2(1 + \cos^2(\tau))} \)