Вероятность вхождения в промежуток: Решение

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику: Вероятность вхождения в промежуток Определение: Одним из ключевых свойств функции распределения является то, что вероятность того, что случайная величина попадет в некоторый промежуток \([a, b]\), можно найти как разность значений функции распределения на концах этого промежутка. Для случайной величины \(X\), вероятность того, что она примет значение в пределах от \(a\) до \(b\), вычисляется по следующей формуле: \[P(a \le X \le b) = F(b) - F(a)\] Этот принцип работает как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Хотя в случае непрерывных величин он особенно важен, поскольку вероятность того, что случайная величина примет точное значение, равна нулю, и нас больше интересуют вероятности на интервалах. Пример из текста: Предположим, что функция распределения случайной величины \(X\) дана как \(F(x)\), и она описывает время ожидания автобуса, равномерно распределённое в интервале от 0 до 10 минут. Тогда вероятность того, что автобус приедет в промежутке от 2 до 5 минут, можно найти так: \[P(2 \le X \le 5) = F(5) - F(2)\] Изучите текст и решите задачу. Задача: Пусть функция распределения \(F(x)\) непрерывной случайной величины \(X\) имеет следующие значения: \(F(2) = 0,4\) и \(F(10) = 0,8\). Чему равна вероятность того, что \(X\) примет значение в интервале от 2 до 10? Решение: Нам нужно найти вероятность того, что случайная величина \(X\) примет значение в интервале от 2 до 10. Используем формулу для вероятности вхождения в промежуток: \[P(a \le X \le b) = F(b) - F(a)\] В нашей задаче: \(a = 2\) \(b = 10\) Известные значения функции распределения: \(F(2) = 0,4\) \(F(10) = 0,8\) Подставляем эти значения в формулу: \[P(2 \le X \le 10) = F(10) - F(2)\] \[P(2 \le X \le 10) = 0,8 - 0,4\] \[P(2 \le X \le 10) = 0,4\] Ответ: Вероятность того, что \(X\) примет значение в интервале от 2 до 10, равна 0,4.