Решение задачи №12: Найти наибольшее значение параметра a

Задача №12 Найти наибольшее значение параметра \( a \), при котором система уравнений имеет ровно два решения: \[ \begin{cases} |2x - 5y| = 6 \\ ax^2 - y^2 = 0 \end{cases} \] Решение: 1. Рассмотрим второе уравнение системы: \( ax^2 - y^2 = 0 \). Его можно переписать в виде \( y^2 = ax^2 \). Если \( a < 0 \), то уравнение имеет единственное решение \( (0, 0) \). Подставим его в первое уравнение: \( |2 \cdot 0 - 5 \cdot 0| = 0 \neq 6 \). Значит, при \( a < 0 \) решений нет. Если \( a = 0 \), то \( y = 0 \). Подставим в первое уравнение: \( |2x| = 6 \), откуда \( x = \pm 3 \). Получаем два решения: \( (3, 0) \) и \( (-3, 0) \). Это значение \( a \) нам подходит. Если \( a > 0 \), то уравнение \( y^2 = ax^2 \) распадается на две прямые: \[ y = \sqrt{a}x \quad \text{или} \quad y = -\sqrt{a}x \] 2. Рассмотрим первое уравнение системы: \( |2x - 5y| = 6 \). Оно также распадается на две параллельные прямые: \[ 2x - 5y = 6 \quad \text{или} \quad 2x - 5y = -6 \] 3. Чтобы система имела ровно два решения, каждая из прямых второго уравнения должна пересекаться с прямыми первого уравнения так, чтобы общее количество точек пересечения было равно двум. Заметим, что прямые \( y = \sqrt{a}x \) и \( y = -\sqrt{a}x \) проходят через начало координат. Прямые \( 2x - 5y = \pm 6 \) не проходят через начало координат и параллельны друг другу. Прямая вида \( y = kx \) пересекает две параллельные прямые в двух точках, если она не параллельна им. Угловой коэффициент прямых из первого уравнения: \( 5y = 2x \mp 6 \Rightarrow y = \frac{2}{5}x \mp \frac{6}{5} \), то есть \( k_0 = \frac{2}{5} \). 4. Анализ количества решений при \( a > 0 \): - Если \( \sqrt{a} \neq \frac{2}{5} \) и \( -\sqrt{a} \neq \frac{2}{5} \), то каждая из двух прямых \( y = \pm \sqrt{a}x \) пересечет пару параллельных прямых в двух точках. Итого будет \( 2 + 2 = 4 \) решения. - Чтобы решений было ровно два, одна из прямых \( y = \sqrt{a}x \) или \( y = -\sqrt{a}x \) должна быть параллельна прямым \( 2x - 5y = \pm 6 \). Так как \( \sqrt{a} > 0 \), а угловой коэффициент \( k_0 = \frac{2}{5} > 0 \), то параллельность возможна только для прямой \( y = \sqrt{a}x \). Условие параллельности: \[ \sqrt{a} = \frac{2}{5} \] Возведем в квадрат: \[ a = \left( \frac{2}{5} \right)^2 = \frac{4}{25} = 0,16 \] 5. Проверка: При \( a = 0,16 \) прямая \( y = 0,4x \) параллельна прямым \( 2x - 5y = \pm 6 \) и не имеет с ними общих точек. Прямая \( y = -0,4x \) не параллельна им и пересечет каждую из них в одной точке. Итого ровно 2 решения. 6. Сравним найденные значения \( a \): Мы нашли \( a = 0 \) и \( a = 0,16 \). Наибольшим из них является \( 0,16 \). Ответ: \( 0,16 \)