Решение задачи: Найти √((3+5i)/(-8+6i))

Задание: Даны комплексные числа \( z_1 = -8 + 6i \) и \( z_2 = 3 + 5i \). Найти все значения корня \( \sqrt{\frac{z_2}{z_1}} \). Ответ записать в алгебраической форме, округлив значения до сотых. Решение: 1. Сначала найдем частное комплексных чисел \( w = \frac{z_2}{z_1} \). Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число \( \bar{z}_1 = -8 - 6i \): \[ w = \frac{3 + 5i}{-8 + 6i} = \frac{(3 + 5i)(-8 - 6i)}{(-8 + 6i)(-8 - 6i)} \] Вычислим числитель: \[ (3 + 5i)(-8 - 6i) = -24 - 18i - 40i - 30i^2 = -24 - 58i + 30 = 6 - 58i \] Вычислим знаменатель: \[ (-8)^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \] Таким образом: \[ w = \frac{6 - 58i}{100} = 0,06 - 0,58i \] 2. Теперь найдем значения корня \( \sqrt{w} = \sqrt{0,06 - 0,58i} \). Пусть \( \sqrt{0,06 - 0,58i} = x + iy \). Тогда: \[ (x + iy)^2 = 0,06 - 0,58i \] \[ x^2 - y^2 + 2xyi = 0,06 - 0,58i \] Составим систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2 - y^2 = 0,06 \\ 2xy = -0,58 \end{cases} \] Также воспользуемся модулем числа \( w \): \[ |w| = \sqrt{0,06^2 + (-0,58)^2} = \sqrt{0,0036 + 0,3364} = \sqrt{0,34} \approx 0,5831 \] Известно, что \( x^2 + y^2 = |w| \), тогда: \[ x^2 + y^2 = 0,5831 \] 3. Решим систему для \( x^2 \) и \( y^2 \): \[ 2x^2 = (x^2 - y^2) + (x^2 + y^2) = 0,06 + 0,5831 = 0,6431 \implies x^2 \approx 0,32155 \] \[ 2y^2 = (x^2 + y^2) - (x^2 - y^2) = 0,5831 - 0,06 = 0,5231 \implies y^2 \approx 0,26155 \] Извлекаем корни: \[ x \approx \pm 0,567 \approx \pm 0,57 \] \[ y \approx \pm 0,511 \approx \pm 0,51 \] Так как \( 2xy = -0,58 \) (отрицательное число), то \( x \) и \( y \) должны иметь разные знаки. 4. Получаем два значения корня: \[ \omega_1 \approx 0,57 - 0,51i \] \[ \omega_2 \approx -0,57 + 0,51i \] Ответ: \( 0,57 - 0,51i \); \( -0,57 + 0,51i \).