Решение примера №8: (2 1/4)^-7 * (4/9)^9 * (2,25)^17

Решение примера №8 из тетради. На фотографии записано выражение: \[ (2\frac{1}{4})^{-7} \cdot (\frac{4}{9})^9 \cdot (2,25)^{17} \] Приведем все множители к одному основанию: 1. Преобразуем смешанное число \( 2\frac{1}{4} \) в неправильную дробь: \[ 2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4} \] 2. Преобразуем десятичную дробь \( 2,25 \) в обыкновенную: \[ 2,25 = 2\frac{25}{100} = 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4} \] 3. Теперь перепишем выражение, используя основание \( \frac{9}{4} \) и \( \frac{4}{9} \): \[ (\frac{9}{4})^{-7} \cdot (\frac{4}{9})^9 \cdot (\frac{9}{4})^{17} \] 4. Вспомним свойство степени: \( (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n \). Преобразуем первый множитель: \[ (\frac{9}{4})^{-7} = (\frac{4}{9})^7 \] 5. Подставим это в выражение и сгруппируем множители с одинаковыми основаниями: \[ (\frac{4}{9})^7 \cdot (\frac{4}{9})^9 \cdot (\frac{9}{4})^{17} = (\frac{4}{9})^{7+9} \cdot (\frac{9}{4})^{17} = (\frac{4}{9})^{16} \cdot (\frac{9}{4})^{17} \] 6. Используем свойство \( (\frac{4}{9})^{16} = \frac{1}{(\frac{9}{4})^{16}} \): \[ \frac{1}{(\frac{9}{4})^{16}} \cdot (\frac{9}{4})^{17} = (\frac{9}{4})^{17-16} = (\frac{9}{4})^1 = \frac{9}{4} \] 7. Переведем результат в десятичную дробь: \[ \frac{9}{4} = 2,25 \] Ответ для записи в тетрадь: \[ (2\frac{1}{4})^{-7} \cdot (\frac{4}{9})^9 \cdot (2,25)^{17} = (\frac{9}{4})^{-7} \cdot (\frac{4}{9})^9 \cdot (\frac{9}{4})^{17} = (\frac{4}{9})^7 \cdot (\frac{4}{9})^9 \cdot (\frac{9}{4})^{17} = (\frac{4}{9})^{16} \cdot (\frac{9}{4})^{17} = \frac{9}{4} = 2,25 \]