Решение примера №9: (1 1/3)^-8 * (2/6)^7 * 2^15

Решение примера №9 из тетради. На фотографии записано выражение: \[ (1\frac{1}{3})^{-8} \cdot (\frac{2}{6})^7 \cdot 2^{15} \] Приведем все множители к простым основаниям (2 и 3): 1. Преобразуем смешанное число \( 1\frac{1}{3} \) в неправильную дробь: \[ 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3} = \frac{2^2}{3} \] 2. Сократим дробь \( \frac{2}{6} \): \[ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} = 3^{-1} \] 3. Теперь подставим эти значения в исходное выражение: \[ (\frac{2^2}{3})^{-8} \cdot (3^{-1})^7 \cdot 2^{15} \] 4. Раскроем скобки, используя свойства степеней \( (a^n)^m = a^{n \cdot m} \) и \( (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} \): \[ \frac{(2^2)^{-8}}{3^{-8}} \cdot 3^{-7} \cdot 2^{15} = \frac{2^{-16}}{3^{-8}} \cdot 3^{-7} \cdot 2^{15} \] 5. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями: Для основания 2: \( 2^{-16} \cdot 2^{15} = 2^{-16+15} = 2^{-1} \) Для основания 3: \( \frac{1}{3^{-8}} \cdot 3^{-7} = 3^8 \cdot 3^{-7} = 3^{8-7} = 3^1 \) 6. Перемножим результаты: \[ 2^{-1} \cdot 3^1 = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2} = 1,5 \] Ответ для записи в тетрадь: \[ (1\frac{1}{3})^{-8} \cdot (\frac{2}{6})^7 \cdot 2^{15} = (\frac{4}{3})^{-8} \cdot (\frac{1}{3})^7 \cdot 2^{15} = \frac{3^8}{2^{16}} \cdot \frac{1}{3^7} \cdot 2^{15} = \frac{3}{2} = 1,5 \]