Решение примера №12: 15^-11 / (3^-9 * 5^-13)

Решение примера №12 из тетради. На фотографии записано выражение: \[ \frac{15^{-11}}{3^{-9} \cdot 5^{-13}} \] Для решения воспользуемся свойствами степеней: \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \) и \( \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} \). 1. Разложим число 15 в числителе на простые множители (3 и 5): \[ 15^{-11} = (3 \cdot 5)^{-11} = 3^{-11} \cdot 5^{-11} \] 2. Подставим это в исходную дробь: \[ \frac{3^{-11} \cdot 5^{-11}}{3^{-9} \cdot 5^{-13}} \] 3. Разделим степени с одинаковыми основаниями, вычитая показатели: Для основания 3: \[ \frac{3^{-11}}{3^{-9}} = 3^{-11 - (-9)} = 3^{-11 + 9} = 3^{-2} \] Для основания 5: \[ \frac{5^{-11}}{5^{-13}} = 5^{-11 - (-13)} = 5^{-11 + 13} = 5^2 \] 4. Перемножим полученные результаты: \[ 3^{-2} \cdot 5^2 = \frac{1}{3^2} \cdot 25 = \frac{1}{9} \cdot 25 = \frac{25}{9} \] 5. Выделим целую часть: \[ \frac{25}{9} = 2\frac{7}{9} \] Ответ для записи в тетрадь: \[ \frac{15^{-11}}{3^{-9} \cdot 5^{-13}} = \frac{3^{-11} \cdot 5^{-11}}{3^{-9} \cdot 5^{-13}} = 3^{-2} \cdot 5^2 = \frac{25}{9} = 2\frac{7}{9} \]