Решение задачи 1.10: Падение камня с аэростата

Задача 1.10 Дано: \(h = 300\) м \(v = 5\) м/с \(g \approx 9,8\) м/\(с^2\) Найти: \(t_a, t_б, t_в\) — ? Решение: Для решения задачи воспользуемся уравнением движения тела вдоль вертикальной оси \(y\). Направим ось \(y\) вертикально вниз, совместив начало координат с точкой падения камня. Тогда уравнение перемещения примет вид: \[h = v_0 t + \frac{g t^2}{2}\] где \(v_0\) — начальная скорость камня относительно земли. В момент отделения от аэростата камень имеет ту же скорость, что и аэростат. а) Аэростат поднимается со скоростью \(v = 5\) м/с. В этом случае начальная скорость камня направлена вверх, то есть против выбранной оси \(y\). Значит, \(v_0 = -v = -5\) м/с. \[300 = -5t + \frac{9,8 t^2}{2}\] \[4,9 t^2 - 5t - 300 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 4,9 \cdot (-300) = 25 + 5880 = 5905\] \[t = \frac{5 + \sqrt{5905}}{2 \cdot 4,9} \approx \frac{5 + 76,84}{9,8} \approx 8,35 \text{ с}\] б) Аэростат опускается со скоростью \(v = 5\) м/с. Начальная скорость камня направлена вниз, совпадает с осью \(y\). Значит, \(v_0 = v = 5\) м/с. \[300 = 5t + \frac{9,8 t^2}{2}\] \[4,9 t^2 + 5t - 300 = 0\] \[D = 5^2 - 4 \cdot 4,9 \cdot (-300) = 25 + 5880 = 5905\] \[t = \frac{-5 + \sqrt{5905}}{2 \cdot 4,9} \approx \frac{-5 + 76,84}{9,8} \approx 7,33 \text{ с}\] в) Аэростат неподвижен. Начальная скорость камня \(v_0 = 0\). \[h = \frac{g t^2}{2} \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2h}{g}}\] \[t = \sqrt{\frac{2 \cdot 300}{9,8}} = \sqrt{\frac{600}{9,8}} \approx \sqrt{61,22} \approx 7,82 \text{ с}\] Ответ: а) \(\approx 8,35\) с; б) \(\approx 7,33\) с; в) \(\approx 7,82\) с.