Задача: Нарисовать графики \(p(T)\) и \(V(T)\) для процесса, изображенного на \(pV\)-диаграмме.
Решение:
Для начала проанализируем каждый участок процесса на \(pV\)-диаграмме. Будем считать, что газ идеальный и его количество постоянно. Для идеального газа справедливо уравнение Менделеева-Клапейрона:
\[pV = nRT\]
где \(p\) - давление, \(V\) - объем, \(n\) - количество вещества, \(R\) - универсальная газовая постоянная, \(T\) - абсолютная температура.
Отсюда можно выразить давление и объем через температуру:
\[p = \frac{nRT}{V}\]
\[V = \frac{nRT}{p}\]
Рассмотрим каждый участок:
1. Участок 1-2: Изохорный процесс (объем постоянный, \(V = const\)).
* На \(pV\)-диаграмме видно, что объем не меняется, а давление уменьшается.
* Из уравнения Менделеева-Клапейрона \(p = \frac{nRT}{V}\). Так как \(V = const\), то \(p \sim T\).
* Поскольку давление уменьшается, то и температура уменьшается.
* График \(p(T)\): прямая линия, проходящая через начало координат (если экстраполировать), с уменьшением давления и температуры.
* График \(V(T)\): прямая линия, параллельная оси \(T\), так как объем постоянный.
2. Участок 2-3: Изобарный процесс (давление постоянное, \(p = const\)).
* На \(pV\)-диаграмме видно, что давление не меняется, а объем увеличивается.
* Из уравнения Менделеева-Клапейрона \(V = \frac{nRT}{p}\). Так как \(p = const\), то \(V \sim T\).
* Поскольку объем увеличивается, то и температура увеличивается.
* График \(p(T)\): прямая линия, параллельная оси \(T\), так как давление постоянное.
* График \(V(T)\): прямая линия, проходящая через начало координат (если экстраполировать), с увеличением объема и температуры.
3. Участок 3-4: Изохорный процесс (объем постоянный, \(V = const\)).
* На \(pV\)-диаграмме видно, что объем не меняется, а давление увеличивается.
* Из уравнения Менделеева-Клапейрона \(p = \frac{nRT}{V}\). Так как \(V = const\), то \(p \sim T\).
* Поскольку давление увеличивается, то и температура увеличивается.
* График \(p(T)\): прямая линия, проходящая через начало координат (если экстраполировать), с увеличением давления и температуры.
* График \(V(T)\): прямая линия, параллельная оси \(T\), так как объем постоянный.
4. Участок 4-1: Изотермический процесс (температура постоянная, \(T = const\)).
* На \(pV\)-диаграмме видно, что давление уменьшается, а объем увеличивается. Кривая является гиперболой.
* Из уравнения Менделеева-Клапейрона \(pV = nRT\). Так как \(T = const\), то \(pV = const\).
* График \(p(T)\): прямая линия, параллельная оси \(p\), так как температура постоянная.
* График \(V(T)\): прямая линия, параллельная оси \(V\), так как температура постоянная.
Теперь нарисуем графики \(p(T)\) и \(V(T)\). Для этого нам нужно определить относительные значения температур в точках 1, 2, 3, 4.
Обозначим:
\(p_1, V_1, T_1\) - параметры в точке 1
\(p_2, V_2, T_2\) - параметры в точке 2
\(p_3, V_3, T_3\) - параметры в точке 3
\(p_4, V_4, T_4\) - параметры в точке 4
Из \(pV\)-диаграммы видно:
\(V_1 = V_2\)
\(p_2 = p_3\)
\(V_3 = V_4\)
\(p_1 > p_2\)
\(V_3 > V_2\)
\(p_4 > p_3\)
\(p_1 > p_4\) (по рисунку)
\(V_4 > V_1\) (по рисунку)
Сравним температуры:
* Участок 1-2 (изохорный): \(V_1 = V_2\). \(p_1 > p_2 \Rightarrow T_1 > T_2\).
* Участок 2-3 (изобарный): \(p_2 = p_3\). \(V_3 > V_2 \Rightarrow T_3 > T_2\).
* Участок 3-4 (изохорный): \(V_3 = V_4\). \(p_4 > p_3 \Rightarrow T_4 > T_3\).
* Участок 4-1 (изотермический): \(T_4 = T_1\).
Итак, мы имеем: \(T_1 = T_4\).
И цепочку неравенств: \(T_2 < T_3 < T_4 = T_1\).
Теперь можно построить графики.
Примерный вид графика p(T)
Примерный вид графика V(T)
(Примечание: Поскольку я не могу рисовать графики напрямую, я опишу их словами и укажу, как они должны выглядеть. Школьнику нужно будет нарисовать их в тетради, используя эти описания.)
График \(p(T)\):
1. Оси: горизонтальная ось - \(T\), вертикальная ось - \(p\).
2. Точка 1: имеет координаты \((T_1, p_1)\).
3. Точка 2: имеет координаты \((T_2, p_2)\). \(T_2 < T_1\), \(p_2 < p_1\).
4. Точка 3: имеет координаты \((T_3, p_3)\). \(T_3 > T_2\), \(p_3 = p_2\).
5. Точка 4: имеет координаты \((T_4, p_4)\). \(T_4 = T_1\), \(p_4 > p_3\).
* Участок 1-2: Прямая линия, идущая из точки 1 в точку 2. Наклонная, проходящая через начало координат (если продолжить).
* Участок 2-3: Горизонтальная прямая линия, идущая из точки 2 в точку 3. Давление постоянно.
* Участок 3-4: Прямая линия, идущая из точки 3 в точку 4. Наклонная, проходящая через начало координат (если продолжить).
* Участок 4-1: Вертикальная прямая линия, идущая из точки 4 в точку 1. Температура постоянна.
График \(V(T)\):
1. Оси: горизонтальная ось - \(T\), вертикальная ось - \(V\).
2. Точка 1: имеет координаты \((T_1, V_1)\).
3. Точка 2: имеет координаты \((T_2, V_2)\). \(T_2 < T_1\), \(V_2 = V_1\).
4. Точка 3: имеет координаты \((T_3, V_3)\). \(T_3 > T_2\), \(V_3 > V_2\).
5. Точка 4: имеет координаты \((T_4, V_4)\). \(T_4 = T_1\), \(V_4 = V_3\).
* Участок 1-2: Горизонтальная прямая линия, идущая из точки 1 в точку 2. Объем постоянен.
* Участок 2-3: Прямая линия, идущая из точки 2 в точку 3. Наклонная, проходящая через начало координат (если продолжить).
* Участок 3-4: Горизонтальная прямая линия, идущая из точки 3 в точку 4. Объем постоянен.
* Участок 4-1: Вертикальная прямая линия, идущая из точки 4 в точку 1. Температура постоянна.
Важно: При рисовании графиков в тетради, убедитесь, что относительное расположение точек по осям \(T\), \(p\) и \(V\) соответствует полученным неравенствам и равенствам. Например, \(T_2\) должна быть левее \(T_3\), а \(T_3\) левее \(T_1\) и \(T_4\). \(p_2\) и \(p_3\) должны быть на одном уровне на графике \(p(T)\), а \(V_1\) и \(V_2\) на одном уровне на графике \(V(T)\).
