Решение задачи по сопротивлению материалов (Вариант 17)

Решение задачи по сопротивлению материалов (Вариант 17). Дано: \(F_1 = 50 \text{ кН}\) \(F_2 = 80 \text{ кН}\) \(F_3 = 30 \text{ кН}\) \(A = 4 \text{ см}^2 = 4 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2\) \(l = 0,3 \text{ м}\) \(E = 210 \text{ ГПа} = 210 \cdot 10^9 \text{ Па}\) 1. Расчет продольных сил \(N\) по участкам. Используем метод сечений, двигаясь сверху вниз (от свободного конца к заделке). Силу считаем положительной, если она вызывает растяжение, и отрицательной, если сжатие. На схеме все силы направлены вниз, то есть сжимают брус. Участок 1 (длина \(1,5l\), площадь \(A\)): \[N_1 = -F_1 = -50 \text{ кН}\] Участок 2 (длина \(1,5l\), площадь \(3A\)): \[N_2 = -F_1 - F_2 = -50 - 80 = -130 \text{ кН}\] Участок 3 (длина \(2l\), площадь \(4A\)): \[N_3 = -F_1 - F_2 - F_3 = -50 - 80 - 30 = -160 \text{ кН}\] 2. Расчет нормальных напряжений \(\sigma\). Напряжение вычисляется по формуле \(\sigma = \frac{N}{F_{area}}\). Участок 1: \[\sigma_1 = \frac{N_1}{A} = \frac{-50 \cdot 10^3}{4 \cdot 10^{-4}} = -125 \cdot 10^6 \text{ Па} = -125 \text{ МПа}\] Участок 2: \[\sigma_2 = \frac{N_2}{3A} = \frac{-130 \cdot 10^3}{3 \cdot 4 \cdot 10^{-4}} = \frac{-130 \cdot 10^3}{12 \cdot 10^{-4}} \approx -108,33 \text{ МПа}\] Участок 3: \[\sigma_3 = \frac{N_3}{4A} = \frac{-160 \cdot 10^3}{4 \cdot 4 \cdot 10^{-4}} = \frac{-160 \cdot 10^3}{16 \cdot 10^{-4}} = -100 \text{ МПа}\] 3. Расчет перемещений \(\Delta l\). Перемещение сечений считаем от заделки (снизу вверх), так как в заделке перемещение равно нулю (\(w_0 = 0\)). Деформация 3-го участка: \[\Delta l_3 = \frac{N_3 \cdot 2l}{4A \cdot E} = \frac{\sigma_3 \cdot 2l}{E} = \frac{-100 \cdot 10^6 \cdot 2 \cdot 0,3}{210 \cdot 10^9} \approx -0,000286 \text{ м} = -0,286 \text{ мм}\] Деформация 2-го участка: \[\Delta l_2 = \frac{N_2 \cdot 1,5l}{3A \cdot E} = \frac{\sigma_2 \cdot 1,5l}{E} = \frac{-108,33 \cdot 10^6 \cdot 1,5 \cdot 0,3}{210 \cdot 10^9} \approx -0,000232 \text{ м} = -0,232 \text{ мм}\] Деформация 1-го участка: \[\Delta l_1 = \frac{N_1 \cdot 1,5l}{A \cdot E} = \frac{\sigma_1 \cdot 1,5l}{E} = \frac{-125 \cdot 10^6 \cdot 1,5 \cdot 0,3}{210 \cdot 10^9} \approx -0,000268 \text{ м} = -0,268 \text{ мм}\] Перемещения узлов (суммарно от заделки): \(w_3 = \Delta l_3 = -0,286 \text{ мм}\) \(w_2 = w_3 + \Delta l_2 = -0,286 - 0,232 = -0,518 \text{ мм}\) \(w_1 = w_2 + \Delta l_1 = -0,518 - 0,268 = -0,786 \text{ мм}\) Для оформления в тетради: 1. Начертите схему бруса вертикально. 2. Справа от схемы проведите три вертикальные оси для эпюр. 3. На эпюре \(N\) отложите значения -50, -130, -160 (прямоугольники влево от оси). 4. На эпюре \(\sigma\) отложите значения -125, -108,33, -100 (прямоугольники влево от оси). 5. На эпюре перемещений \(w\) отметьте точки 0 (внизу), -0,286, -0,518 и -0,786 (вверху) и соедините их наклонными линиями.