Решение задачи №2 (Вариант 17): Статически неопределимая балка

Решение задачи №2 (Вариант 17). Данная задача является статически неопределимой, так как брус закреплен с двух сторон. Дано: \(F_2 = 80 \text{ кН}\) \(A = 4 \text{ см}^2 = 4 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2\) Геометрия (согласно рис. 14, правая схема): Верхний участок: площадь \(3A\), длина \(a = 1,1 \text{ м}\) Нижний участок: площадь \(A\), длина \(b + c = 0,6 + 0,4 = 1,0 \text{ м}\) Сила \(F_2\) приложена на границе участков и направлена вниз. 1. Определение реакций опор. Пусть \(R_B\) — реакция в верхней заделке, \(R_H\) — реакция в нижней заделке. Направим их вверх. Уравнение равновесия: \[\sum F_y = R_B + R_H - F_2 = 0 \implies R_B + R_H = 80 \text{ кН}\] Уравнение перемещений (полное удлинение бруса равно нулю): \[\Delta L = \Delta L_{top} + \Delta L_{bot} = 0\] \[\frac{R_B \cdot a}{3A \cdot E} + \frac{(R_B - F_2) \cdot (b+c)}{A \cdot E} = 0\] Сокращаем на \(A \cdot E\) и подставляем значения длин: \[\frac{R_B \cdot 1,1}{3} + (R_B - 80) \cdot 1,0 = 0\] \[0,3667 \cdot R_B + R_B - 80 = 0\] \[1,3667 \cdot R_B = 80\] \[R_B = \frac{80}{1,3667} \approx 58,54 \text{ кН}\] Находим нижнюю реакцию: \[R_H = 80 - 58,54 = 21,46 \text{ кН}\] 2. Определение продольных сил \(N\) по участкам. Участок 1 (верхний, от верхней заделки до силы \(F_2\)): \[N_1 = R_B = 58,54 \text{ кН} \text{ (растяжение)}\] Участок 2 (нижний, от силы \(F_2\) до нижней заделки): \[N_2 = R_B - F_2 = 58,54 - 80 = -21,46 \text{ кН} \text{ (сжатие)}\] 3. Определение напряжений \(\sigma\) и поиск опасного сечения. Напряжение на верхнем участке: \[\sigma_1 = \frac{N_1}{3A} = \frac{58,54 \cdot 10^3}{3 \cdot 4 \cdot 10^{-4}} = \frac{58,54 \cdot 10^3}{12 \cdot 10^{-4}} \approx 48,78 \cdot 10^6 \text{ Па} = 48,78 \text{ МПа}\] Напряжение на нижнем участке: \[\sigma_2 = \frac{N_2}{A} = \frac{-21,46 \cdot 10^3}{4 \cdot 10^{-4}} \approx -53,65 \cdot 10^6 \text{ Па} = -53,65 \text{ МПа}\] Опасным является сечение с максимальным по модулю напряжением. \[|\sigma_{max}| = |\sigma_2| = 53,65 \text{ МПа}\] Ответ: Продольные силы: \(N_1 = 58,54 \text{ кН}\), \(N_2 = -21,46 \text{ кН}\). Напряжение в опасном сечении: \(\sigma = -53,65 \text{ МПа}\). Для тетради: Постройте эпюру \(N\): сверху прямоугольник вправо со значением 58,54, снизу прямоугольник влево со значением 21,46. Опасное сечение находится на нижнем (узком) участке бруса.