Решение показательных уравнений

Решение показательных уравнений. Задание 1. \[ 2^{x+1} + 2^{x-1} + 2^x = 28 \] Вынесем за скобки множитель с наименьшим показателем степени, то есть \( 2^{x-1} \): \[ 2^{x-1} \cdot (2^2 + 1 + 2^1) = 28 \] \[ 2^{x-1} \cdot (4 + 1 + 2) = 28 \] \[ 2^{x-1} \cdot 7 = 28 \] Разделим обе части уравнения на 7: \[ 2^{x-1} = 4 \] \[ 2^{x-1} = 2^2 \] Так как основания равны, приравниваем показатели: \[ x - 1 = 2 \] \[ x = 3 \] Ответ: \( x = 3 \). Задание 2. \[ 3^{x-1} - 3^x + 3^{x+1} = 63 \] Вынесем за скобки \( 3^{x-1} \): \[ 3^{x-1} \cdot (1 - 3^1 + 3^2) = 63 \] \[ 3^{x-1} \cdot (1 - 3 + 9) = 63 \] \[ 3^{x-1} \cdot 7 = 63 \] Разделим обе части на 7: \[ 3^{x-1} = 9 \] \[ 3^{x-1} = 3^2 \] Приравниваем показатели: \[ x - 1 = 2 \] \[ x = 3 \] Ответ: \( x = 3 \). Задание 3. \[ 5^x = 8^x \] Разделим обе части уравнения на \( 8^x \) (так как \( 8^x \neq 0 \)): \[ \frac{5^x}{8^x} = 1 \] \[ \left(\frac{5}{8}\right)^x = \left(\frac{5}{8}\right)^0 \] Приравниваем показатели: \[ x = 0 \] Ответ: \( x = 0 \). Задание 4. \[ 0,5^{\frac{1}{x}} = 4^{\frac{1}{x+1}} \] Приведем обе части к основанию 2. Заметим, что \( 0,5 = 2^{-1} \), а \( 4 = 2^2 \): \[ (2^{-1})^{\frac{1}{x}} = (2^2)^{\frac{1}{x+1}} \] \[ 2^{-\frac{1}{x}} = 2^{\frac{2}{x+1}} \] Приравниваем показатели: \[ -\frac{1}{x} = \frac{2}{x+1} \] Умножим крест-накрест (при условии \( x \neq 0 \) и \( x \neq -1 \)): \[ -(x + 1) = 2x \] \[ -x - 1 = 2x \] \[ -3x = 1 \] \[ x = -\frac{1}{3} \] Ответ: \( x = -\frac{1}{3} \).