Решение задач: смежные и вертикальные углы для школьной тетради

Ниже представлены решения задач с карточки, оформленные для записи в школьную тетрадь. Задача 1 Дано: смежные углы, один из которых равен \( 70^\circ \). Найти: неизвестный угол. Решение: Сумма смежных углов равна \( 180^\circ \). \[ 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \] Ответ: \( 110^\circ \). Задача 2 Дано: пересекающиеся прямые, один из вертикальных углов равен \( 40^\circ \). Найти: остальные углы. Решение: 1) Вертикальные углы равны, значит противоположный угол равен \( 40^\circ \). 2) Смежный угол равен \( 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \). 3) Угол, вертикальный найденному, также равен \( 140^\circ \). Ответ: \( 40^\circ, 140^\circ, 140^\circ \). Задача 3 Доказать: 1) \( \triangle COD = \triangle BOA \); 2) \( AB = CD \). Доказательство: 1) \( CO = OB \) (по условию), \( DO = OA \) (по условию). 2) \( \angle COD = \angle BOA \) как вертикальные. 3) Следовательно, \( \triangle COD = \triangle BOA \) по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). 4) В равных треугольниках соответственные стороны равны, значит \( AB = CD \). Что и требовалось доказать. Задача 4 Доказать: \( \triangle AOC = \triangle BOC \). Доказательство: 1) \( AC = BC \) (по условию), \( AO = OB \) (по условию). 2) Сторона \( CO \) — общая. 3) Следовательно, \( \triangle AOC = \triangle BOC \) по третьему признаку (по трем сторонам). Что и требовалось доказать. Задача 5 Доказать: \( \triangle APM = \triangle KPM \). Доказательство: 1) \( AM = MK \) (по условию). 2) \( \angle PMA = \angle PMK = 90^\circ \) (так как \( PM \perp AK \)). 3) Сторона \( PM \) — общая. 4) Следовательно, \( \triangle APM = \triangle KPM \) по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). Что и требовалось доказать. Задача 6 Найти: \( A_1B_1 \). Решение: 1) \( AC = A_1C_1 = 4 \), \( BC = B_1C_1 = 3 \). 2) Углы \( C \) и \( C_1 \) прямые (\( 90^\circ \)). 3) \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \) по двум катетам (или первому признаку). 4) Значит, \( A_1B_1 = AB = 5 \). Ответ: \( 5 \). Задача 7 Доказать: \( \triangle ABC = \triangle CDA \). Доказательство: 1) \( AB = CD = 3 \), \( BC = DA = 5 \). 2) Сторона \( AC \) — общая. 3) Следовательно, \( \triangle ABC = \triangle CDA \) по третьему признаку (по трем сторонам). Что и требовалось доказать. Задача 11 Найти: \( P_{\triangle ABC} \). Решение: 1) На чертеже отмечено, что \( AB = BC \), значит треугольник равнобедренный. 2) \( AB = 6 \), следовательно \( BC = 6 \). 3) Периметр \( P = AB + BC + AC = 6 + 6 + 5 = 17 \). Ответ: \( 17 \). Задача 12 Найти: неизвестный угол \( C \). Решение: 1) На чертеже отмечено, что \( AB = BC \), значит \( \triangle ABC \) — равнобедренный. 2) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: \( \angle A = \angle C \). 3) Так как \( \angle A = 60^\circ \), то \( \angle C = 60^\circ \). Ответ: \( 60^\circ \). Задача 15 Дано: \( AB = 10 \) см, \( DB = 5 \) см. Найти угол \( \angle CDB \). Решение: 1) Так как \( AC = CB \), треугольник \( ABC \) равнобедренный. 2) \( CD \) — медиана, так как \( D \) делит \( AB \) пополам (\( AD = AB - DB = 10 - 5 = 5 \), значит \( AD = DB \)). 3) В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой. 4) Следовательно, \( CD \perp AB \), и искомый угол равен \( 90^\circ \). Ответ: \( 90^\circ \).