Решение:

Вариант 2 Задание 1. Найдите значение выражения: 1) \( 5\sqrt[4]{16} - 2\sqrt[3]{-216} - \sqrt[4]{(-6)^4} \) Вычислим по частям: \( \sqrt[4]{16} = 2 \) \( \sqrt[3]{-216} = -6 \) \( \sqrt[4]{(-6)^4} = |-6| = 6 \) Подставим: \( 5 \cdot 2 - 2 \cdot (-6) - 6 = 10 + 12 - 6 = 16 \) Ответ: 16. 2) \( \sqrt[5]{2} \cdot \sqrt[10]{2} + \sqrt[5]{-2\sqrt{2}} \) Приведем к степеням: \( 2^{\frac{1}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{10}} + \sqrt[5]{-2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}}} = 2^{\frac{2+1}{10}} + \sqrt[5]{-2^{\frac{3}{2}}} = 2^{\frac{3}{10}} - (2^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{3}{10}} - 2^{\frac{3}{10}} = 0 \) Ответ: 0. 3) \( \sqrt[4]{5 + \sqrt{24}} \cdot \sqrt[4]{5 - \sqrt{24}} \) Используем свойство корня и формулу разности квадратов: \( \sqrt[4]{(5 + \sqrt{24})(5 - \sqrt{24})} = \sqrt[4]{5^2 - (\sqrt{24})^2} = \sqrt[4]{25 - 24} = \sqrt[4]{1} = 1 \) Ответ: 1. Задание 2. Упростить выражение: 1) \( \sqrt[28]{a^7} = a^{\frac{7}{28}} = a^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{a} \) 2) \( \sqrt[5]{b^3 \sqrt[4]{b^3}} = \sqrt[5]{\sqrt[4]{b^{3 \cdot 4} \cdot b^3}} = \sqrt[20]{b^{12+3}} = \sqrt[20]{b^{15}} = b^{\frac{15}{20}} = b^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{b^3} \) 3) \( \sqrt[6]{m^6} \) при \( y \le 0 \) (вероятно, опечатка и имелось в виду \( m \le 0 \)): \( \sqrt[6]{m^6} = |m| \). Так как \( m \le 0 \), то \( |m| = -m \). Задание 3. Решите уравнение: 1) \( \sqrt{2x + 48} = -x \) ОДЗ и условие: \( 2x + 48 \ge 0 \Rightarrow x \ge -24 \); \( -x \ge 0 \Rightarrow x \le 0 \). Возведем в квадрат: \( 2x + 48 = x^2 \) \( x^2 - 2x - 48 = 0 \) По теореме Виета: \( x_1 = 8 \) (не подходит, так как \( 8 > 0 \)), \( x_2 = -6 \). Ответ: -6. 2) \( \sqrt{5 - x} = \sqrt{x - 2} \) ОДЗ: \( 5 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 5 \); \( x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2 \). Итого \( x \in [2; 5] \). \( 5 - x = x - 2 \) \( 2x = 7 \Rightarrow x = 3,5 \) (входит в ОДЗ). Ответ: 3,5. 3) \( \sqrt{-56 - 15x} = -x \) Условие: \( -x \ge 0 \Rightarrow x \le 0 \). \( -56 - 15x = x^2 \) \( x^2 + 15x + 56 = 0 \) По теореме Виета: \( x_1 = -7 \), \( x_2 = -8 \). Оба корня меньше 0. В ответе укажите меньший корень. Ответ: -8. Задание 4. Решите неравенство: 1) \( \sqrt{x - 8} > x - 5 \) Рассмотрим два случая: а) \( x - 5 < 0 \Rightarrow x < 5 \). Но по ОДЗ \( x \ge 8 \). Решений нет. б) \( x - 5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5 \). Возводим в квадрат: \( x - 8 > (x - 5)^2 \) \( x - 8 > x^2 - 10x + 25 \) \( x^2 - 11x + 33 < 0 \) Дискриминант \( D = 121 - 132 = -11 < 0 \). Парабола выше оси \( Ox \), решений нет. Ответ: решений нет. 2) \( \sqrt{3 - x} \le \sqrt{3x - 5} \) ОДЗ: \( 3 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 3 \); \( 3x - 5 \ge 0 \Rightarrow x \ge \frac{5}{3} \). \( 3 - x \le 3x - 5 \) \( 4x \ge 8 \Rightarrow x \ge 2 \) С учетом ОДЗ: \( x \in [2; 3] \). Ответ: \( [2; 3] \). Задание 5. Решить уравнение: \( \sqrt{6x - 14} + \sqrt{5 - x} = \sqrt{5x - 9} \) ОДЗ: \( 6x - 14 \ge 0 \Rightarrow x \ge \frac{7}{3} \approx 2,33 \) \( 5 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 5 \) \( 5x - 9 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1,8 \) Итого \( x \in [2,33; 5] \). Возведем в квадрат: \( 6x - 14 + 5 - x + 2\sqrt{(6x-14)(5-x)} = 5x - 9 \) \( 5x - 9 + 2\sqrt{(6x-14)(5-x)} = 5x - 9 \) \( 2\sqrt{(6x-14)(5-x)} = 0 \) Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: \( 6x - 14 = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{3} \) \( 5 - x = 0 \Rightarrow x = 5 \) Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: \( 2\frac{1}{3}; 5 \). Задание 6. Решите неравенство: \( \sqrt{-x^2 + 6x - 5} > 8 - 2x \) ОДЗ: \( -x^2 + 6x - 5 \ge 0 \Rightarrow x^2 - 6x + 5 \le 0 \Rightarrow (x-1)(x-5) \le 0 \Rightarrow x \in [1; 5] \). 1) Если \( 8 - 2x < 0 \Rightarrow x > 4 \). При \( x \in (4; 5] \) левая часть неотрицательна, а правая отрицательна. Неравенство верно. 2) Если \( 8 - 2x \ge 0 \Rightarrow x \le 4 \). Возводим в квадрат: \( -x^2 + 6x - 5 > (8 - 2x)^2 \) \( -x^2 + 6x - 5 > 64 - 32x + 4x^2 \) \( 5x^2 - 38x + 69 < 0 \) Корни уравнения \( 5x^2 - 38x + 69 = 0 \): \( D = 1444 - 1380 = 64 \). \( x_1 = \frac{38+8}{10} = 4,6 \); \( x_2 = \frac{38-8}{10} = 3 \). Решение неравенства: \( x \in (3; 4,6) \). С учетом условия \( x \le 4 \) и ОДЗ: \( x \in (3; 4] \). Объединяем результаты (1) и (2): \( x \in (3; 5] \). Ответ: \( (3; 5] \).