Решение задачи 4.1 по гидростатике: Силы давления на затвор

Задача 4.1 Дано: \(h_1 = 3\) м \(h_2 = 1,2\) м \(b = 4\) м \(H = 3,5\) м \(t = 0,08\) м \(\gamma_{мат} = 1,18 \cdot 10^4\) Н/м\(^3\) \(f = 0,5\) \(\gamma_{в} = 9810\) Н/м\(^3\) (удельный вес воды) Найти: \(P\), \(y_D\), \(T\) Решение: 1. Определим силы гидростатического давления воды на затвор слева (\(P_1\)) и справа (\(P_2\)). Формула силы давления: \(P = \gamma_{в} \cdot h_c \cdot S\), где \(h_c = \frac{h}{2}\) — глубина центра тяжести, \(S = b \cdot h\) — площадь. Для левой стороны (верхний бьеф): \[P_1 = \gamma_{в} \cdot \frac{h_1}{2} \cdot (b \cdot h_1) = 9810 \cdot \frac{3}{2} \cdot (4 \cdot 3) = 9810 \cdot 1,5 \cdot 12 = 176580 \text{ Н}\] Для правой стороны (нижний бьеф): \[P_2 = \gamma_{в} \cdot \frac{h_2}{2} \cdot (b \cdot h_2) = 9810 \cdot \frac{1,2}{2} \cdot (4 \cdot 1,2) = 9810 \cdot 0,6 \cdot 4,8 = 28252,8 \text{ Н}\] Равнодействующая сила давления на затвор: \[P = P_1 - P_2 = 176580 - 28252,8 = 148327,2 \text{ Н} \approx 148,33 \text{ кН}\] 2. Определим положение центра давления \(y_D\) (расстояние от дна). Для каждой стороны центр давления находится на высоте \(y = \frac{h}{3}\) от дна. \[y_{D1} = \frac{h_1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \text{ м}\] \[y_{D2} = \frac{h_2}{3} = \frac{1,2}{3} = 0,4 \text{ м}\] Используем уравнение моментов относительно нижней кромки затвора: \[P \cdot y_D = P_1 \cdot y_{D1} - P_2 \cdot y_{D2}\] \[y_D = \frac{176580 \cdot 1 - 28252,8 \cdot 0,4}{148327,2} = \frac{176580 - 11301,12}{148327,2} \approx 1,11 \text{ м}\] 3. Определим начальное подъемное усилие \(T\). Оно складывается из веса затвора \(G\) и силы трения в пазах \(F_{тр}\). Вес затвора: \[G = \gamma_{мат} \cdot V = \gamma_{мат} \cdot (H \cdot b \cdot t)\] \[G = 1,18 \cdot 10^4 \cdot (3,5 \cdot 4 \cdot 0,08) = 11800 \cdot 1,12 = 13216 \text{ Н}\] Сила трения: \[F_{тр} = f \cdot P = 0,5 \cdot 148327,2 = 74163,6 \text{ Н}\] Общее подъемное усилие: \[T = G + F_{тр} = 13216 + 74163,6 = 87379,6 \text{ Н} \approx 87,38 \text{ кН}\] Ответ: \(P \approx 148,33\) кН; \(y_D \approx 1,11\) м; \(T \approx 87,38\) кН.