Решение задач
Задача №1
Условие:
Двое отправились на ярмарку за хозяйственными покупками. Поистратившись, встретились они и пошли было к выходу, но повстречали торговца, который продавал топор за 1200 руб. Захотели они купить этот топор. У каждого из двоих оставалось немного денег, но не менее 1000 у каждого. Какова вероятность, что им хватит денег, чтобы купить топор вскладчину. Ответ запишите в виде десятичной дроби.
Решение:
Пусть \(x\) — количество денег, оставшихся у первого человека, и \(y\) — количество денег, оставшихся у второго человека.
По условию, у каждого осталось не менее 1000 рублей. Это означает, что:
\[x \ge 1000\] \[y \ge 1000\]Также сказано, что у них осталось "немного денег", что подразумевает некоторый верхний предел. Обычно в таких задачах, если не указан верхний предел, подразумевается, что он равен стоимости товара, если бы каждый мог купить его самостоятельно, или какой-то разумный предел. Однако, если бы у каждого было, например, 1200 рублей, то они могли бы купить топор по отдельности. Поскольку они хотят купить топор вскладчину, и у каждого "немного денег", но не менее 1000, то логично предположить, что у каждого из них денег меньше, чем стоимость топора. То есть, \(x < 1200\) и \(y < 1200\).
Таким образом, диапазон денег у каждого человека: от 1000 до 1200 рублей (не включая 1200, так как если бы было 1200, то это уже не "немного" в контексте покупки топора вскладчину, а достаточно для покупки в одиночку).
Итак, имеем:
\[1000 \le x < 1200\] \[1000 \le y < 1200\]Общая сумма денег у них должна быть достаточной для покупки топора, то есть:
\[x + y \ge 1200\]Рассмотрим это как задачу на геометрическую вероятность. Мы можем представить все возможные исходы как квадрат на координатной плоскости с вершинами в точках \((1000, 1000)\), \((1200, 1000)\), \((1200, 1200)\) и \((1000, 1200)\).
Длина стороны этого квадрата равна \(1200 - 1000 = 200\).
Площадь всего пространства элементарных исходов (квадрата) равна:
\[S_{общ} = (1200 - 1000) \times (1200 - 1000) = 200 \times 200 = 40000\]Благоприятные исходы — это те, где \(x + y \ge 1200\).
Нарисуем этот квадрат. Линия \(x + y = 1200\) проходит через точки \((1000, 200)\) и \((200, 1000)\). Однако, нас интересует область внутри квадрата, где \(x \ge 1000\) и \(y \ge 1000\).
Рассмотрим точки \((1000, y)\) и \((x, 1000)\).
Если \(x = 1000\), то \(1000 + y \ge 1200 \Rightarrow y \ge 200\). Но у нас \(y \ge 1000\). Значит, в этой области \(y\) всегда будет больше 200.
Если \(y = 1000\), то \(x + 1000 \ge 1200 \Rightarrow x \ge 200\). Аналогично, \(x\) всегда будет больше 200.
Давайте перенесем начало координат для удобства. Пусть \(x' = x - 1000\) и \(y' = y - 1000\).
Тогда \(0 \le x' < 200\) и \(0 \le y' < 200\).
Условие \(x + y \ge 1200\) превращается в \((x' + 1000) + (y' + 1000) \ge 1200\), что дает \(x' + y' + 2000 \ge 1200\), или \(x' + y' \ge -800\).
Это условие всегда выполняется, так как \(x' \ge 0\) и \(y' \ge 0\), поэтому \(x' + y' \ge 0\), что, конечно, больше или равно -800.
Похоже, я неправильно интерпретировал условие "не менее 1000 у каждого". Если у каждого не менее 1000, то минимальная сумма у них вдвоем 2000. А топор стоит 1200. В этом случае вероятность 1, так как 2000 всегда больше 1200.
Давайте перечитаем: "У каждого из двоих оставалось немного денег, но не менее 1000 у каждого."
Возможно, имелось в виду, что у каждого осталось менее 1000, но в сумме не менее 1000. Но написано "не менее 1000 у каждого".
Если буквально следовать условию "не менее 1000 у каждого", то \(x \ge 1000\) и \(y \ge 1000\). Тогда минимальная сумма, которая у них может быть, это \(1000 + 1000 = 2000\) рублей. Поскольку топор стоит 1200 рублей, то \(2000 \ge 1200\), и им всегда хватит денег.
В этом случае вероятность равна 1.
Однако, обычно в таких задачах есть какой-то подвох или более сложный расчет. Возможно, "немного денег" означает, что у каждого меньше 1200, но не менее 1000. Или же, что у каждого меньше 600, но в сумме не менее 1200. Но формулировка "не менее 1000 у каждого" очень четкая.
Предположим, что в условии опечатка, и имелось в виду, что у каждого осталось не более 1000 рублей, но в сумме им нужно набрать 1200. Или, что у каждого осталось от 0 до 1200 рублей, и им нужно набрать 1200.
Давайте рассмотрим более вероятный сценарий для задачи по теории вероятностей, где ответ не 1.
Предположим, что у каждого из них осталось от 0 до 1200 рублей. То есть:
\[0 \le x \le 1200\] \[0 \le y \le 1200\]Тогда общая площадь пространства элементарных исходов (квадрата со стороной 1200) будет:
\[S_{общ} = 1200 \times 1200 = 1440000\]Благоприятные исходы: \(x + y \ge 1200\).
На координатной плоскости \(xOy\) это область внутри квадрата \([0, 1200] \times [0, 1200]\) выше или на линии \(x + y = 1200\).
Линия \(x + y = 1200\) проходит через точки \((1200, 0)\) и \((0, 1200)\).
Область, где \(x + y < 1200\), представляет собой треугольник с вершинами \((0, 0)\), \((1200, 0)\) и \((0, 1200)\).
Площадь этого "неблагоприятного" треугольника:
\[S_{неблаг} = \frac{1}{2} \times 1200 \times 1200 = \frac{1}{2} \times 1440000 = 720000\]Площадь благоприятных исходов:
\[S_{благ} = S_{общ} - S_{неблаг} = 1440000 - 720000 = 720000\]Вероятность \(P\) будет:
\[P = \frac{S_{благ}}{S_{общ}} = \frac{720000}{1440000} = \frac{1}{2} = 0.5\]Теперь вернемся к исходной формулировке: "не менее 1000 у каждого".
Если это означает, что \(x \in [1000, M]\) и \(y \in [1000, M]\), где \(M\) — это какой-то верхний предел. Если \(M\) не указан, то обычно подразумевается, что он достаточно большой, чтобы покрыть все возможные сценарии. Но если \(M\) достаточно большой, например, \(M = 2000\), то \(x+y\) может быть от 2000 до 4000. В любом случае, \(x+y \ge 2000\), что больше 1200.
Единственный способ получить ответ, отличный от 1, при условии "не менее 1000 у каждого", это если "немного денег" означает, что у каждого меньше 1200. То есть, \(1000 \le x < 1200\) и \(1000 \le y < 1200\).
В этом случае, как мы уже считали, область всех возможных исходов — это квадрат со стороной 200. Площадь \(S_{общ} = 200 \times 200 = 40000\).
Условие \(x + y \ge 1200\).
Рассмотрим этот квадрат с вершинами \((1000, 1000)\), \((1200, 1000)\), \((1200, 1200)\), \((1000, 1200)\).
Линия \(x + y = 1200\) проходит через точки \((1000, 200)\) и \((200, 1000)\). Эта линия находится вне нашего квадрата, так как минимальное значение \(x\) и \(y\) равно 1000.
Минимальная сумма \(x+y\) в этом квадрате: \(1000 + 1000 = 2000\).
Поскольку \(2000 \ge 1200\), то условие \(x + y \ge 1200\) всегда выполняется для всех точек внутри этого квадрата.
Следовательно, площадь благоприятных исходов равна площади всего пространства элементарных исходов, то есть \(S_{благ} = 40000\).
Вероятность \(P = \frac{S_{благ}}{S_{общ}} = \frac{40000}{40000} = 1\).
Если ответ 1, то это слишком просто для задачи по теории вероятностей. Возможно, "не менее 1000 у каждого" относится к тому, что у каждого есть деньги, но не обязательно 1000. Или же, что у каждого есть деньги, но не более 1000. Или же, что у каждого есть деньги, но не более 600, чтобы в сумме набрать 1200.
Давайте предположим, что "немного денег" означает, что у каждого из них осталось от 0 до 1200 рублей, но при этом у каждого не менее 1000. Это противоречиво. Если "немного денег" означает, что у каждого меньше 1200, но не менее 1000, то ответ 1.
Единственный способ получить не 1, это если условие "не менее 1000 у каждого" относится к какому-то другому контексту, или же это опечатка. Если бы было "у каждого осталось не более 1000 рублей", то есть \(0 \le x \le 1000\) и \(0 \le y \le 1000\). Тогда \(S_{общ} = 1000 \times 1000 = 1000000\). Условие \(x + y \ge 1200\). В этом квадрате \([0, 1000] \times [0, 1000]\) линия \(x + y = 1200\) проходит через точки \((1000, 200)\) и \((200, 1000)\). Область, где \(x + y \ge 1200\), будет представлять собой треугольник с вершинами \((1000, 200)\), \((1000, 1000)\) и \((200, 1000)\). Это прямоугольный треугольник с катетами \(1000 - 200 = 800\) и \(1000 - 200 = 800\). Площадь благоприятных исходов \(S_{благ} = \frac{1}{2} \times 800 \times 800 = \frac{1}{2} \times 640000 = 320000\). Вероятность \(P = \frac{320000}{1000000} = 0.32\).
Но это противоречит условию "не менее 1000 у каждого".
Давайте еще раз внимательно прочитаем: "У каждого из двоих оставалось немного денег, но не менее 1000 у каждого." Это означает, что \(x \ge 1000\) и \(y \ge 1000\). "Немного денег" может означать, что у каждого меньше, чем стоимость топора, то есть \(x < 1200\) и \(y < 1200\).
Итак, мы имеем: \(1000 \le x < 1200\) и \(1000 \le y < 1200\).
В этом случае, как было показано выше, минимальная сумма денег у них вдвоем составляет \(1000 + 1000 = 2000\) рублей. Стоимость топора 1200 рублей. Поскольку \(2000 \ge 1200\), то им всегда хватит денег.
Вероятность того, что им хватит денег, равна 1.
Если это задача для школьника, то, скорее всего, она не содержит скрытых смыслов, и нужно следовать буквальному прочтению. Если бы было "у каждого осталось не более 1200 рублей", то есть \(0 \le x \le 1200\) и \(0 \le y \le 1200\), и условие "не менее 1000 у каждого" было бы частью другого условия, или же это было бы условие для другого случая. Но в данном случае, если \(x \ge 1000\) и \(y \ge 1000\), то \(x+y \ge 2000\). И так как \(2000 > 1200\), то им всегда хватит денег.
Ответ: 1
Задача №2
Условие:
Точка E - середина стороны AD, а точка F - середина стороны AB параллелограмма ABCD. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в параллелограмме точка X попадет в треугольник CEF. Ответ запишите в виде десятичной дроби.
Решение:
Пусть площадь