Решение задачи 5.3: Определение стационарной температуры

Задача 5.3 Дано: \(M = 2,5\) \(H_1 = 19\) км \(H_2 = 3\) км \(k = 1,4\) Найти: \(T_{ст1}\), \(T_{ст2}\) Решение: Температура на кромке крыла самолета соответствует температуре торможения (стационарной температуре) потока \(T^*\), так как при обтекании передней кромки воздух полностью затормаживается. 1. Согласно ГОСТ 4401-81 «Атмосфера стандартная», определим статическую температуру воздуха \(T\) на заданных высотах: Для \(H_1 = 19\) км: \(T_1 = 216,65\) К (стратосфера, температура постоянна в этом диапазоне). Для \(H_2 = 3\) км: \(T_2 = 268,65\) К (рассчитывается как \(288,15 - 6,5 \cdot 3\)). 2. По условию расчет необходимо выполнить с использованием безразмерной скорости \(\lambda\). Связь между числом Маха \(M\) и безразмерной скоростью \(\lambda\) выражается формулой: \[ \lambda^2 = \frac{\frac{k+1}{2} M^2}{1 + \frac{k-1}{2} M^2} \] Подставим значения \(k = 1,4\) и \(M = 2,5\): \[ \lambda^2 = \frac{\frac{1,4+1}{2} \cdot 2,5^2}{1 + \frac{1,4-1}{2} \cdot 2,5^2} = \frac{1,2 \cdot 6,25}{1 + 0,2 \cdot 6,25} = \frac{7,5}{1 + 1,25} = \frac{7,5}{2,25} \approx 3,333 \] \[ \lambda = \sqrt{3,333} \approx 1,826 \] 3. Температура торможения \(T^*\) связана со статической температурой \(T\) через газодинамическую функцию \(\tau(\lambda)\): \[ T = T^* \cdot \tau(\lambda) \] Где \(\tau(\lambda) = 1 - \frac{k-1}{k+1} \lambda^2\). Следовательно, искомая температура на кромке: \[ T^* = \frac{T}{\tau(\lambda)} = \frac{T}{1 - \frac{k-1}{k+1} \lambda^2} \] Вычислим знаменатель: \[ \tau(\lambda) = 1 - \frac{1,4-1}{1,4+1} \cdot 3,333 = 1 - \frac{0,4}{2,4} \cdot 3,333 = 1 - \frac{1}{6} \cdot 3,333 = 1 - 0,5555 = 0,4445 \] 4. Рассчитаем температуру на кромке для каждой высоты: Для \(H_1 = 19\) км: \[ T_{ст1} = \frac{216,65}{0,4445} \approx 487,4 \text{ К} \] Переведем в градусы Цельсия: \[ t_{ст1} = 487,4 - 273,15 = 214,25 ^\circ\text{C} \] Для \(H_2 = 3\) км: \[ T_{ст2} = \frac{268,65}{0,4445} \approx 604,4 \text{ К} \] Переведем в градусы Цельсия: \[ t_{ст2} = 604,4 - 273,15 = 331,25 ^\circ\text{C} \] Ответ: на высоте 19 км температура на кромке составит 487,4 К (214,25 \(^\circ\)C), на высоте 3 км — 604,4 К (331,25 \(^\circ\)C).