Задание №1
В треугольнике \(ABC\) угол \(A\) равен \(60^\circ\), угол \(B\) равен \(45^\circ\), \(BC = 7\sqrt{6}\). Найдите \(AC\).
Решение:
Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов.
Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно для всех сторон треугольника.
То есть, для треугольника \(ABC\) справедливо следующее равенство:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]В нашей задаче даны:
- Угол \(A = 60^\circ\)
- Угол \(B = 45^\circ\)
- Сторона \(BC = 7\sqrt{6}\) (это сторона \(a\), так как она лежит напротив угла \(A\))
Нам нужно найти сторону \(AC\), которая является стороной \(b\) (так как она лежит напротив угла \(B\)).
Применим теорему синусов для сторон \(a\) и \(b\):
\[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \]Подставим известные значения в формулу:
\[ \frac{7\sqrt{6}}{\sin 60^\circ} = \frac{AC}{\sin 45^\circ} \]Теперь найдем значения синусов:
- \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
- \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Подставим эти значения в уравнение:
\[ \frac{7\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]Чтобы найти \(AC\), выразим его из уравнения:
\[ AC = \frac{7\sqrt{6} \cdot \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} \] \[ AC = \frac{7\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]Сократим \( \frac{1}{2} \) в числителе и знаменателе:
\[ AC = \frac{7\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \]Умножим корни в числителе:
\[ \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{12} \]Тогда:
\[ AC = \frac{7\sqrt{12}}{\sqrt{3}} \]Разложим \( \sqrt{12} \) как \( \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \):
\[ AC = \frac{7 \cdot 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \]Сократим \( \sqrt{3} \) в числителе и знаменателе:
\[ AC = 7 \cdot 2 \] \[ AC = 14 \]Ответ:
Длина стороны \(AC\) равна \(14\).