Задание №2
Используя теорему синусов, найдите угол \(A\).
На рисунке дан треугольник \(ABC\) со следующими известными значениями:
- Угол \(B = 135^\circ\)
- Сторона \(AC = 8\) (сторона \(b\), лежащая напротив угла \(B\))
- Сторона \(BC = 4\sqrt{2}\) (сторона \(a\), лежащая напротив угла \(A\))
Нам нужно найти угол \(A\).
Решение:
Воспользуемся теоремой синусов, которая гласит:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \]Подставим известные значения в формулу:
\[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \] \[ \frac{4\sqrt{2}}{\sin A} = \frac{8}{\sin 135^\circ} \]Найдем значение \( \sin 135^\circ \). Мы знаем, что \( \sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha \).
Поэтому, \( \sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ \).
Значение \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Теперь подставим это значение обратно в уравнение:
\[ \frac{4\sqrt{2}}{\sin A} = \frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]Упростим правую часть уравнения:
\[ \frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 8 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} \]Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} \):
\[ \frac{16}{\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2} \]Теперь наше уравнение выглядит так:
\[ \frac{4\sqrt{2}}{\sin A} = 8\sqrt{2} \]Выразим \( \sin A \):
\[ \sin A = \frac{4\sqrt{2}}{8\sqrt{2}} \]Сократим \( 4\sqrt{2} \) в числителе и знаменателе:
\[ \sin A = \frac{1}{2} \]Теперь нам нужно найти угол \(A\), синус которого равен \( \frac{1}{2} \).
Из таблицы значений синусов известно, что \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \).
Также синус может быть равен \( \frac{1}{2} \) для угла \( 150^\circ \). Однако, в треугольнике сумма углов равна \( 180^\circ \). Если угол \(A\) будет \( 150^\circ \), а угол \(B\) уже \( 135^\circ \), то сумма \(A+B = 150^\circ + 135^\circ = 285^\circ\), что больше \( 180^\circ \). Следовательно, угол \(A\) не может быть \( 150^\circ \).
Таким образом, угол \(A\) равен \(30^\circ\).
Ответ:
Угол \(A\) равен \(30^\circ\).