Решение задачи 5.4: Расчет угла Маха и температуры потока

Задача 5.4 Дано: \(\alpha = 22^\circ\) \(T^* = 405\) К \(k = 1,4\) (для воздуха) \(R = 287\) Дж/(кг·К) Найти: \(M\), \(T\), \(v\) Решение: 1. Угол между поверхностью слабой волны (линией возмущений) и направлением невозмущенного потока называется углом Маха. Он связан с числом Маха \(M\) следующим соотношением: \[ \sin \alpha = \frac{1}{M} \] Отсюда находим число Маха потока: \[ M = \frac{1}{\sin 22^\circ} \approx \frac{1}{0,3746} \approx 2,67 \] 2. Температура торможения \(T^*\) (которую показывает термопара) и статическая температура потока \(T\) связаны зависимостью: \[ T = \frac{T^*}{1 + \frac{k-1}{2} M^2} \] Подставим известные значения: \[ T = \frac{405}{1 + \frac{1,4-1}{2} \cdot 2,67^2} = \frac{405}{1 + 0,2 \cdot 7,1289} = \frac{405}{1 + 1,4258} = \frac{405}{2,4258} \approx 166,96 \text{ К} \] 3. Для определения скорости потока \(v\) сначала найдем местную скорость звука \(a\): \[ a = \sqrt{k \cdot R \cdot T} \] \[ a = \sqrt{1,4 \cdot 287 \cdot 166,96} \approx \sqrt{67084,5} \approx 259 \text{ м/с} \] 4. Теперь вычислим истинную скорость потока: \[ v = M \cdot a \] \[ v = 2,67 \cdot 259 \approx 691,5 \text{ м/с} \] Ответ: число Маха потока \(M \approx 2,67\), статическая температура \(T \approx 167\) К, скорость потока \(v \approx 691,5\) м/с.