Задание №4
Используя теорему синусов, найдите сторону \(AB\).
На рисунке дан треугольник \(ABC\) со следующими известными значениями:
- Угол \(A = 45^\circ\)
- Угол \(C = 30^\circ\)
- Сторона \(BC = 8\sqrt{2}\) (сторона \(a\), лежащая напротив угла \(A\))
Нам нужно найти сторону \(AB\), которая является стороной \(c\) (так как она лежит напротив угла \(C\)).
Решение:
Воспользуемся теоремой синусов, которая гласит:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \]Подставим известные значения в формулу:
\[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} \] \[ \frac{8\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{AB}{\sin 30^\circ} \]Найдем значения синусов:
- \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
- \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)
Подставим эти значения в уравнение:
\[ \frac{8\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AB}{\frac{1}{2}} \]Упростим левую часть уравнения:
\[ \frac{8\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 8\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 8 \cdot 2 = 16 \]Теперь наше уравнение выглядит так:
\[ 16 = \frac{AB}{\frac{1}{2}} \]Чтобы найти \(AB\), умножим обе части уравнения на \( \frac{1}{2} \):
\[ AB = 16 \cdot \frac{1}{2} \] \[ AB = 8 \]Ответ:
Длина стороны \(AB\) равна \(8\).