Решение задачи 6.1: Истечение воздуха из сопла

Задача 6.1 Дано: \(d = 15\) мм \(= 0,015\) м \(p_0 = 0,1\) МПа \(= 10^5\) Па \(T^* = 400\) К \(p^* = 1,5\) МПа \(= 1,5 \cdot 10^6\) Па \(\mu = 1\) \(k = 1,4\) \(R = 287\) Дж/(кг·К) Найти: \(c\), \(Q\) Решение: 1. Определим режим истечения воздуха из сопла. Для этого сравним отношение давлений с критическим отношением \(\beta_{кр}\). Для воздуха (\(k = 1,4\)): \[ \beta_{кр} = \left( \frac{2}{k+1} \right)^{\frac{k}{k-1}} = \left( \frac{2}{1,4+1} \right)^{\frac{1,4}{0,4}} \approx 0,528 \] Фактическое отношение давлений: \[ \frac{p_0}{p^*} = \frac{0,1}{1,5} \approx 0,067 \] Так как \(\frac{p_0}{p^*} < \beta_{кр}\) (\(0,067 < 0,528\)), то в суживающемся сопле реализуется критический режим истечения. Это значит, что на срезе сопла скорость равна местной скорости звука (\(M = 1\)). 2. Скорость истечения \(c\) при критическом режиме равна критической скорости звука \(a_{кр}\): \[ c = a_{кр} = \sqrt{\frac{2k}{k+1} R T^*} \] \[ c = \sqrt{\frac{2 \cdot 1,4}{1,4+1} \cdot 287 \cdot 400} = \sqrt{\frac{2,8}{2,4} \cdot 287 \cdot 400} \approx \sqrt{133933} \approx 365,97 \text{ м/с} \] 3. Определим массовый расход воздуха \(Q\). Для критического режима формула расхода имеет вид: \[ Q = \mu \cdot f \cdot p^* \sqrt{\frac{k}{R T^*} \left( \frac{2}{k+1} \right)^{\frac{k+1}{k-1}}} \] Сначала найдем площадь выходного сечения сопла \(f\): \[ f = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{3,1416 \cdot (0,015)^2}{4} \approx 1,767 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 \] Для воздуха (\(k = 1,4\)) коэффициент расхода в формуле упрощается: \[ \sqrt{\frac{k}{R} \left( \frac{2}{k+1} \right)^{\frac{k+1}{k-1}}} \approx \frac{0,0404}{\sqrt{R}} \text{ (в системе СИ)} \] Или воспользуемся полной формулой: \[ Q = 1 \cdot 1,767 \cdot 10^{-4} \cdot 1,5 \cdot 10^6 \cdot \sqrt{\frac{1,4}{287 \cdot 400} \cdot (0,8333)^6} \] \[ Q \approx 265,05 \cdot \sqrt{1,219 \cdot 10^{-5} \cdot 0,3349} \approx 265,05 \cdot 0,00202 \approx 0,535 \text{ кг/с} \] Ответ: скорость истечения \(c \approx 366\) м/с, расход воздуха \(Q \approx 0,535\) кг/с.