Решение задач из учебника: примеры и объяснения

Ниже представлены решения задач с 3 по 10 из вашего списка в удобном для переписывания виде. Задача 3. Пусть \( a, b, c \) — стороны основания исходной призмы, а \( h \) — её высота. Площадь боковой поверхности исходной призмы: \[ S_{исх} = (a + b + c) \cdot h \] Отсечённая призма имеет в основании треугольник, стороны которого в 2 раза меньше (так как проведена средняя линия). Стороны основания отсечённой призмы: \( \frac{a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \). Высота \( h \) осталась прежней. Площадь её боковой поверхности: \[ S_{отс} = \left( \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2} \right) \cdot h = \frac{1}{2} (a + b + c) \cdot h = \frac{1}{2} S_{исх} \] По условию \( S_{отс} = 37 \). Тогда: \[ S_{исх} = 37 \cdot 2 = 74 \] Ответ: 74. Задача 4. Так как события несовместны (вопросов, относящихся к обеим темам одновременно, нет), вероятность суммы событий равна сумме их вероятностей: \[ P = 0,2 + 0,35 = 0,55 \] Ответ: 0,55. Задача 5. Пусть \( A \) — событие "масса меньше 810 г", \( P(A) = 0,98 \). Пусть \( B \) — событие "масса больше 790 г", \( P(B) = 0,83 \). Нам нужно найти вероятность того, что \( 790 < m < 810 \). Вероятность того, что масса меньше или равна 790 г: \( P(m \le 790) = 1 - P(B) = 1 - 0,83 = 0,17 \). Искомая вероятность: \[ P = P(m < 810) - P(m \le 790) = 0,98 - 0,17 = 0,81 \] Ответ: 0,81. Задача 6. \[ \log_3(x + 4) = \log_3 16 \] Так как основания логарифмов равны, приравниваем аргументы: \[ x + 4 = 16 \] \[ x = 16 - 4 \] \[ x = 12 \] Ответ: 12. Задача 7. \[ 20^{-3,9} \cdot 5^{2,9} : 4^{-4,9} \] Разложим 20 на множители: \( 20 = 4 \cdot 5 \). \[ (4 \cdot 5)^{-3,9} \cdot 5^{2,9} \cdot 4^{4,9} = 4^{-3,9} \cdot 5^{-3,9} \cdot 5^{2,9} \cdot 4^{4,9} \] Группируем степени с одинаковыми основаниями: \[ 4^{-3,9 + 4,9} \cdot 5^{-3,9 + 2,9} = 4^1 \cdot 5^{-1} = 4 \cdot \frac{1}{5} = 0,8 \] Ответ: 0,8. Задача 8. На отрезке \( [-8; -4] \) график производной \( f'(x) \) лежит выше оси \( Ox \), то есть \( f'(x) > 0 \). Это означает, что функция \( f(x) \) на всём этом отрезке возрастает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в правом конце отрезка. Ответ: -4. Задача 9. Подставим значения в формулу \( T(t) = T_0 + bt + at^2 \): \[ 1300 + 98t - \frac{14}{3}t^2 = 1720 \] \[ -\frac{14}{3}t^2 + 98t - 420 = 0 \] Разделим на -14: \[ \frac{1}{3}t^2 - 7t + 30 = 0 \] Умножим на 3: \[ t^2 - 21t + 90 = 0 \] По теореме Виета: \( t_1 = 6 \), \( t_2 = 15 \). Прибор нужно отключить при первом достижении критической температуры. Ответ: 6. Задача 10. Скорость сближения поездов: \[ V = 70 + 50 = 120 \text{ км/ч} \] Переведем в м/с: \[ 120 \text{ км/ч} = \frac{120 \cdot 1000}{3600} = \frac{1200}{36} = \frac{100}{3} \text{ м/с} \] Суммарное расстояние, которое прошли поезда друг относительно друга за 33 секунды: \[ S = V \cdot t = \frac{100}{3} \cdot 33 = 1100 \text{ метров} \] Это расстояние равно сумме длин поездов: \( L_{ск} + L_{пас} = 1100 \). \[ L_{ск} + 800 = 1100 \] \[ L_{ск} = 300 \] Ответ: 300.