Задание №5
Используя теорему синусов, найдите радиус описанной окружности треугольника.
На рисунке изображен треугольник \(ABC\), вписанный в окружность с центром \(O\). Известны следующие данные:
- Сторона \(AB = 17\)
- Угол \(C = 30^\circ\) (угол, противолежащий стороне \(AB\))
- \(R\) — радиус описанной окружности
Нам нужно найти радиус \(R\).
Решение:
Воспользуемся расширенной формулировкой теоремы синусов, которая включает радиус описанной окружности:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]В нашем случае, сторона \(AB\) является стороной \(c\), а угол \(C\) — это угол, противолежащий этой стороне.
Таким образом, мы можем использовать часть формулы:
\[ \frac{AB}{\sin C} = 2R \]Подставим известные значения в формулу:
\[ \frac{17}{\sin 30^\circ} = 2R \]Найдем значение \( \sin 30^\circ \):
\[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \]Теперь подставим это значение обратно в уравнение:
\[ \frac{17}{\frac{1}{2}} = 2R \]Упростим левую часть уравнения:
\[ 17 \cdot 2 = 2R \] \[ 34 = 2R \]Чтобы найти \(R\), разделим обе части уравнения на \(2\):
\[ R = \frac{34}{2} \] \[ R = 17 \]Ответ:
Радиус описанной окружности равен \(17\).