Решение задачи 6.3: Расчет времени слива мазута из цистерны

Задача 6.3 Дано: \(W = 40,5 \text{ м}^3\) — объем мазута; \(D = 3,5 \text{ м}\) — диаметр цистерны; \(d = 0,1 \text{ м}\) — диаметр сливного патрубка; \(\nu = 6,9 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2/\text{с}\) — кинематическая вязкость; \(\varphi = 1\) — коэффициент скорости. Примем ускорение свободного падения \(g = 9,81 \text{ м}/\text{с}^2\). Найти: \(t\) — время опорожнения. Решение: 1. Найдем площадь поперечного сечения сливного патрубка \(f\): \[f = \frac{\pi \cdot d^2}{4} = \frac{3,14 \cdot 0,1^2}{4} = 0,00785 \text{ м}^2\] 2. Найдем длину цистерны \(L\). Так как объем цилиндрической цистерны \(W = \frac{\pi \cdot D^2}{4} \cdot L\), то: \[L = \frac{4 \cdot W}{\pi \cdot D^2} = \frac{4 \cdot 40,5}{3,14 \cdot 3,5^2} \approx \frac{162}{38,465} \approx 4,21 \text{ м}\] 3. Время полного опорожнения горизонтального цилиндрического резервуара через отверстие в нижней части вычисляется по формуле: \[t = \frac{4 \cdot L \cdot D^{1,5}}{3 \cdot \mu \cdot f \cdot \sqrt{2 \cdot g}}\] Где \(\mu\) — коэффициент расхода. При \(\varphi = 1\) и отсутствии сжатия струи (для короткого патрубка) можно принять \(\mu \approx 0,82\) (типовое значение для вязких жидкостей при сливе). Однако, если в условии дан только \(\varphi = 1\), часто предполагается идеализированный случай \(\mu = \varphi = 1\). Проведем расчет для \(\mu = 1\). 4. Подставим значения в формулу: \[t = \frac{4 \cdot 4,21 \cdot 3,5^{1,5}}{3 \cdot 1 \cdot 0,00785 \cdot \sqrt{2 \cdot 9,81}}\] Вычислим промежуточные значения: \(3,5^{1,5} = 3,5 \cdot \sqrt{3,5} \approx 3,5 \cdot 1,87 = 6,545\) \(\sqrt{19,62} \approx 4,43\) \[t = \frac{4 \cdot 4,21 \cdot 6,545}{3 \cdot 0,00785 \cdot 4,43} = \frac{110,2178}{0,1043} \approx 1056,7 \text{ с}\] 5. Переведем время в минуты: \[t \approx \frac{1056,7}{60} \approx 17,6 \text{ мин}\] Ответ: \(t \approx 1057 \text{ с}\) (или примерно 17,6 минут).