Решение задачи 6.5: Определение высоты отверстия в баке с водой

Задача 6.5 Дано: \(H = 12 \text{ м}\) — общая глубина воды в баке; \(p = 105 \text{ кПа} = 105000 \text{ Па}\) — избыточное давление; \(x = 3,5 \text{ м}\) — дальность падения струи; \(\rho = 1000 \text{ кг/м}^3\) — плотность воды; \(g = 9,81 \text{ м/с}^2\) — ускорение свободного падения. Найти: \(h\) — высота расположения отверстия. Решение: 1. Скорость вытекания воды из малого отверстия в закрытом баке определяется по формуле Торричелли с учетом избыточного давления: \[v = \sqrt{2 \cdot g \cdot (H - h) + \frac{2 \cdot p}{\rho}}\] Здесь \((H - h)\) — глубина погружения отверстия под уровень воды. 2. Струя воды совершает движение под углом к горизонту (в данном случае горизонтально). Время падения струи с высоты \(h\) определяется из уравнения свободного падения: \[h = \frac{g \cdot t^2}{2} \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}\] 3. Дальность падения струи \(x\) при горизонтальном истечении равна: \[x = v \cdot t\] Подставим выражения для \(v\) и \(t\): \[x = \sqrt{2 \cdot g \cdot (H - h) + \frac{2 \cdot p}{\rho}} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}\] 4. Возведем обе части уравнения в квадрат: \[x^2 = \left( 2 \cdot g \cdot (H - h) + \frac{2 \cdot p}{\rho} \right) \cdot \frac{2 \cdot h}{g}\] \[x^2 = 4 \cdot h \cdot (H - h) + \frac{4 \cdot p \cdot h}{\rho \cdot g}\] 5. Подставим числовые значения для упрощения уравнения: \[3,5^2 = 4 \cdot h \cdot (12 - h) + \frac{4 \cdot 105000 \cdot h}{1000 \cdot 9,81}\] \[12,25 = 48 \cdot h - 4 \cdot h^2 + 42,81 \cdot h\] \[4 \cdot h^2 - 90,81 \cdot h + 12,25 = 0\] 6. Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-90,81)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 12,25 = 8246,45 - 196 = 8050,45\] \[\sqrt{D} \approx 89,72\] Находим корни: \[h_1 = \frac{90,81 + 89,72}{8} \approx 22,57 \text{ м}\] (не подходит, так как \(h\) не может быть больше \(H = 12 \text{ м}\)) \[h_2 = \frac{90,81 - 89,72}{8} = \frac{1,09}{8} \approx 0,136 \text{ м}\] Ответ: \(h \approx 0,136 \text{ м}\) (или 13,6 см).