Решение задачи 7.3: Найти скорость и угол отклонения потока

Задача 7.3 Дано: \(T_0 = 280\) К — температура торможения (в котле); \(c_1 = 750\) м/с — скорость потока до скачка; \(\beta = 41^\circ\) — угол наклона скачка уплотнения; \(k = 1,4\) — показатель адиабаты для воздуха; \(R = 287\) Дж/(кг·К) — газовая постоянная для воздуха. Найти: \(c_2\) — скорость после скачка; \(\delta\) — угол отклонения потока. Решение: 1. Определим критическую скорость звука \(a_{кр}\). Для этого воспользуемся уравнением энергии: \[a_{кр} = \sqrt{\frac{2k}{k+1} R T_0}\] Подставим значения: \[a_{кр} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1,4}{1,4 + 1} \cdot 287 \cdot 280} = \sqrt{\frac{2,8}{2,4} \cdot 287 \cdot 280} \approx \sqrt{93753,3} \approx 306,2 \text{ м/с}\] 2. Найдем приведенную скорость до скачка \(\lambda_1\): \[\lambda_1 = \frac{c_1}{a_{кр}} = \frac{750}{306,2} \approx 2,45\] 3. Определим нормальную составляющую приведенной скорости до скачка \(\lambda_{1n}\): \[\lambda_{1n} = \lambda_1 \sin \beta = 2,45 \cdot \sin 41^\circ \approx 2,45 \cdot 0,656 \approx 1,607\] 4. Используя свойство прямого скачка уплотнения (для нормальной составляющей), найдем нормальную составляющую приведенной скорости после скачка \(\lambda_{2n}\): \[\lambda_{2n} = \frac{1}{\lambda_{1n}} = \frac{1}{1,607} \approx 0,622\] 5. Тангенциальная составляющая приведенной скорости при переходе через скачок не меняется: \[\lambda_{\tau} = \lambda_1 \cos \beta = 2,45 \cdot \cos 41^\circ \approx 2,45 \cdot 0,755 \approx 1,85\] 6. Найдем полную приведенную скорость после скачка \(\lambda_2\): \[\lambda_2 = \sqrt{\lambda_{2n}^2 + \lambda_{\tau}^2} = \sqrt{0,622^2 + 1,85^2} = \sqrt{0,387 + 3,4225} = \sqrt{3,8095} \approx 1,952\] 7. Вычислим искомую скорость потока после скачка \(c_2\): \[c_2 = \lambda_2 \cdot a_{кр} = 1,952 \cdot 306,2 \approx 597,7 \text{ м/с}\] 8. Определим угол наклона потока после скачка \(\theta\) (относительно фронта скачка): \[\text{tg } \theta = \frac{\lambda_{2n}}{\lambda_{\tau}} = \frac{0,622}{1,85} \approx 0,336\] \[\theta = \text{arctg}(0,336) \approx 18,6^\circ\] 9. Угол отклонения потока (угол клина) \(\delta\) равен разности углов: \[\delta = \beta - \theta = 41^\circ - 18,6^\circ = 22,4^\circ\] Ответ: \(c_2 \approx 597,7\) м/с; \(\delta \approx 22,4^\circ\).