Решение задач: теорема Пифагора и равносторонний треугольник

Ниже представлены решения задач с изображений, оформленные для записи в тетрадь. Задача 1. Дано: прямоугольный треугольник, катеты \(a = 7\), \(b = 24\). Найти: гипотенузу \(c\). Решение: По теореме Пифагора: \[c^2 = a^2 + b^2\] \[c^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625\] \[c = \sqrt{625} = 25\] Ответ: 25. Задача 2. Дано: прямоугольный треугольник, катет \(a = 5\), гипотенуза \(c = 13\). Найти: катет \(b\). Решение: По теореме Пифагора: \[b^2 = c^2 - a^2\] \[b^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144\] \[b = \sqrt{144} = 12\] Ответ: 12. Задача 3. Дано: равносторонний треугольник, высота \(h = 12\sqrt{3}\). Найти: сторону \(a\). Решение: Формула высоты равностороннего треугольника: \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\). \[12\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}\] Разделим обе части на \(\sqrt{3}\): \[12 = \frac{a}{2} \Rightarrow a = 24\] Ответ: 24. Задача 4. Дано: равносторонний треугольник, сторона \(a = 8\sqrt{3}\). Найти: биссектрису \(l\). Решение: В равностороннем треугольнике биссектриса совпадает с высотой: \(l = h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\). \[l = \frac{8\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{8 \cdot 3}{2} = \frac{24}{2} = 12\] Ответ: 12. Задача 5. Дано: равносторонний треугольник, сторона \(a = 10\sqrt{3}\). Найти: медиану \(m\). Решение: В равностороннем треугольнике медиана совпадает с высотой: \(m = h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\). \[m = \frac{10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{10 \cdot 3}{2} = \frac{30}{2} = 15\] Ответ: 15. Задача 6. Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(AC = 7\), \(AB = 25\). Найти: \(\sin B\). Решение: Синус острого угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. \[\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{7}{25} = 0,28\] Ответ: 0,28. Задача 7. Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(BC = 3\), \(AB = 5\). Найти: \(\cos B\). Решение: Косинус острого угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. \[\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5} = 0,6\] Ответ: 0,6. Задача 8. Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(BC = 10\), \(AC = 7\). Найти: \(tg B\). Решение: Тангенс острого угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему. \[tg B = \frac{AC}{BC} = \frac{7}{10} = 0,7\] Ответ: 0,7. Задача 9. Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(\sin B = \frac{4}{9}\), \(AB = 18\). Найти: \(AC\). Решение: \[\sin B = \frac{AC}{AB} \Rightarrow AC = AB \cdot \sin B\] \[AC = 18 \cdot \frac{4}{9} = 2 \cdot 4 = 8\] Ответ: 8. Задача 10. Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(\cos B = \frac{5}{6}\), \(AB = 18\). Найти: \(BC\). Решение: \[\cos B = \frac{BC}{AB} \Rightarrow BC = AB \cdot \cos B\] \[BC = 18 \cdot \frac{5}{6} = 3 \cdot 5 = 15\] Ответ: 15. Задача 11. Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(tg B = \frac{9}{7}\), \(BC = 42\). Найти: \(AC\). Решение: \[tg B = \frac{AC}{BC} \Rightarrow AC = BC \cdot tg B\] \[AC = 42 \cdot \frac{9}{7} = 6 \cdot 9 = 54\] Ответ: 54.