Решение задачи: 10^9 / ((2^5)^2 * 5^7)

Задание: Найти значение выражения, используя свойства степеней. \[ \frac{10^9}{(2^5)^2 \cdot 5^7} \] Решение: 1) Сначала преобразуем знаменатель. При возведении степени в степень показатели перемножаются: \[ (2^5)^2 = 2^{5 \cdot 2} = 2^{10} \] Теперь знаменатель выглядит так: \( 2^{10} \cdot 5^7 \). 2) Разложим основание степени в числителе на множители. Так как \( 10 = 2 \cdot 5 \), то: \[ 10^9 = (2 \cdot 5)^9 = 2^9 \cdot 5^9 \] 3) Подставим преобразованные выражения в дробь: \[ \frac{2^9 \cdot 5^9}{2^{10} \cdot 5^7} \] 4) Сократим степени с одинаковыми основаниями, используя правило деления степеней (при делении показатели вычитаются): Для основания 5: \( \frac{5^9}{5^7} = 5^{9-7} = 5^2 = 25 \) Для основания 2: \( \frac{2^9}{2^{10}} = \frac{1}{2^{10-9}} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2} \) 5) Перемножим результаты: \[ \frac{25}{2} = 12,5 \] Ответ: 12,5.