Решение задач с корнями: Вариант 2

Вариант 2 Задание 1. Найдите значение выражения: 1) \( 5\sqrt[4]{16} - 2\sqrt[3]{-216} - \sqrt[4]{(-6)^4} \) Решение: \( 5 \cdot 2 - 2 \cdot (-6) - |-6| = 10 + 12 - 6 = 16 \) Ответ: 16. 2) \( \sqrt[5]{2} \cdot \sqrt[10]{2} + \sqrt[5]{-2\sqrt{2}} \) Решение: \( \sqrt[10]{2^2} \cdot \sqrt[10]{2} + \sqrt[5]{-\sqrt{2^2 \cdot 2}} = \sqrt[10]{2^3} - \sqrt[10]{2^3} = 0 \) Ответ: 0. 3) \( \sqrt[4]{5 + \sqrt{24}} \cdot \sqrt[4]{5 - \sqrt{24}} \) Решение: \( \sqrt[4]{(5 + \sqrt{24})(5 - \sqrt{24})} = \sqrt[4]{25 - 24} = \sqrt[4]{1} = 1 \) Ответ: 1. Задание 2. Упростить выражение: 1) \( \sqrt[28]{a^7} = \sqrt[4]{a} \) 2) \( \sqrt[5]{b^3 \sqrt[4]{b^3}} = \sqrt[5]{\sqrt[4]{b^{12} \cdot b^3}} = \sqrt[20]{b^{15}} = \sqrt[4]{b^3} \) 3) \( \sqrt[6]{m^6} \), при \( y \le 0 \) (вероятно, опечатка в условии и имелось в виду \( m \le 0 \)): \( \sqrt[6]{m^6} = |m| \). Так как \( m \le 0 \), то \( |m| = -m \). Ответ: \( -m \). Задание 3. Решите уравнение: 1) \( \sqrt{2x + 48} = -x \) ОДЗ и условие: \( -x \ge 0 \Rightarrow x \le 0 \). \( 2x + 48 = x^2 \) \( x^2 - 2x - 48 = 0 \) По теореме Виета: \( x_1 = 8 \) (не подходит по условию \( x \le 0 \)), \( x_2 = -6 \). Ответ: -6. 2) \( \sqrt{5 - x} = \sqrt{x - 2} \) ОДЗ: \( 5 - x \ge 0 \) и \( x - 2 \ge 0 \Rightarrow 2 \le x \le 5 \). \( 5 - x = x - 2 \) \( 2x = 7 \Rightarrow x = 3,5 \) (входит в ОДЗ). Ответ: 3,5. 3) \( \sqrt{-56 - 15x} = -x \) Условие: \( -x \ge 0 \Rightarrow x \le 0 \). \( -56 - 15x = x^2 \) \( x^2 + 15x + 56 = 0 \) По теореме Виета: \( x_1 = -7 \), \( x_2 = -8 \). Оба корня подходят под условие. В ответе укажите меньший корень. Ответ: -8. Задание 4. Решите неравенство: 1) \( \sqrt{x - 8} > x - 5 \) Рассмотрим два случая: а) \( x - 5 < 0 \Rightarrow x < 5 \). Но по ОДЗ \( x \ge 8 \). Нет решений. б) \( x - 5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5 \). Возводим в квадрат: \( x - 8 > (x - 5)^2 \) \( x - 8 > x^2 - 10x + 25 \) \( x^2 - 11x + 33 < 0 \) Дискриминант \( D = 121 - 132 = -11 < 0 \). Решений нет. Ответ: нет решений. 2) \( \sqrt{3 - x} \le \sqrt{3x - 5} \) Система: \[ \begin{cases} 3 - x \ge 0 \\ 3x - 5 \ge 0 \\ 3 - x \le 3x - 5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 3 \\ x \ge 5/3 \\ 4x \ge 8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 3 \\ x \ge 1,66... \\ x \ge 2 \end{cases} \] Ответ: \( [2; 3] \). Задание 5. Решите уравнение: \( \sqrt{6x - 14} + \sqrt{5 - x} = \sqrt{5x - 9} \) ОДЗ: \( x \ge 14/6 \), \( x \le 5 \), \( x \ge 9/5 \). Итого: \( 2\frac{1}{3} \le x \le 5 \). Возводим в квадрат: \( 6x - 14 + 5 - x + 2\sqrt{(6x - 14)(5 - x)} = 5x - 9 \) \( 5x - 9 + 2\sqrt{(6x - 14)(5 - x)} = 5x - 9 \) \( 2\sqrt{(6x - 14)(5 - x)} = 0 \) \( 6x - 14 = 0 \) или \( 5 - x = 0 \) \( x_1 = 2\frac{1}{3} \), \( x_2 = 5 \). Ответ: \( 2\frac{1}{3}; 5 \). Задание 6. Решите неравенство: \( \sqrt{-x^2 + 6x - 5} > 8 - 2x \) 1) Если \( 8 - 2x < 0 \Rightarrow x > 4 \). Тогда достаточно выполнения ОДЗ: \( -x^2 + 6x - 5 \ge 0 \). Корни \( x^2 - 6x + 5 = 0 \): \( x = 1, x = 5 \). ОДЗ: \( [1; 5] \). С учетом \( x > 4 \), получаем интервал \( (4; 5] \). 2) Если \( 8 - 2x \ge 0 \Rightarrow x \le 4 \). Возводим в квадрат: \( -x^2 + 6x - 5 > (8 - 2x)^2 \) \( -x^2 + 6x - 5 > 64 - 32x + 4x^2 \) \( 5x^2 - 38x + 69 < 0 \) Находим корни \( 5x^2 - 38x + 69 = 0 \): \( D = 1444 - 1380 = 64 \). \( x_1 = (38 + 8)/10 = 4,6 \); \( x_2 = (38 - 8)/10 = 3 \). Решение неравенства: \( (3; 4,6) \). С учетом условия \( x \le 4 \), получаем интервал \( (3; 4] \). Объединяем результаты: \( (3; 4] \cup (4; 5] = (3; 5] \). Ответ: \( (3; 5] \).