Решение задачи №1.9: Расчет давления в цилиндре

Задача №1.9 Дано: \(P = 12 \text{ кН} = 12000 \text{ Н}\) \(p_2 = 0,15 \text{ МПа} = 0,15 \cdot 10^6 \text{ Па}\) \(D = 160 \text{ мм} = 0,16 \text{ м}\) \(d = 30 \text{ мм} = 0,03 \text{ м}\) \(F_{тр} = 0,1 \cdot F_1\) (где \(F_1\) — полная сила давления на поршень слева) Найти: \(p_1\) Решение: 1. Определим площади поверхностей поршня. Площадь поршня со стороны давления \(p_1\): \[S_1 = \frac{\pi D^2}{4}\] \[S_1 = \frac{3,14 \cdot 0,16^2}{4} \approx 0,0201 \text{ м}^2\] Площадь поршня со стороны давления \(p_2\) (кольцевая площадь за вычетом штока): \[S_2 = \frac{\pi (D^2 - d^2)}{4}\] \[S_2 = \frac{3,14 \cdot (0,16^2 - 0,03^2)}{4} = \frac{3,14 \cdot (0,0256 - 0,0009)}{4} \approx 0,0194 \text{ м}^2\] 2. Составим уравнение равновесия сил, действующих на поршень. Сила давления слева \(F_1 = p_1 \cdot S_1\). Сила давления справа \(F_2 = p_2 \cdot S_2\). Сила трения \(F_{тр} = 0,1 \cdot F_1 = 0,1 \cdot p_1 \cdot S_1\). Полезная сила на штоке \(P\). Уравнение баланса сил: \[F_1 = P + F_2 + F_{тр}\] \[p_1 S_1 = P + p_2 S_2 + 0,1 p_1 S_1\] 3. Выразим искомое давление \(p_1\): \[p_1 S_1 - 0,1 p_1 S_1 = P + p_2 S_2\] \[0,9 p_1 S_1 = P + p_2 S_2\] \[p_1 = \frac{P + p_2 S_2}{0,9 S_1}\] 4. Подставим численные значения: \[p_1 = \frac{12000 + 0,15 \cdot 10^6 \cdot 0,0194}{0,9 \cdot 0,0201}\] \[p_1 = \frac{12000 + 2910}{0,01809}\] \[p_1 = \frac{14910}{0,01809} \approx 824212 \text{ Па}\] Переведем в мегапаскали: \[p_1 \approx 0,824 \text{ МПа}\] Ответ: \(p_1 \approx 0,824 \text{ МПа}\).