Решение Интеграла: Задача 13

Задача 13. Вычислить интеграл \[ I = \oint_{|z|=\frac{1}{2}} \frac{dz}{z(z^2+1)} \] Решение: 1. Найдем особые точки функции \( f(z) = \frac{1}{z(z^2+1)} \). Для этого приравняем знаменатель к нулю: \[ z(z^2+1) = 0 \] Отсюда получаем три особые точки: \[ z_1 = 0 \] \[ z^2 = -1 \Rightarrow z_2 = i, \quad z_3 = -i \] 2. Область интегрирования представляет собой окружность с центром в начале координат и радиусом \( R = \frac{1}{2} \). Проверим, какие из найденных точек лежат внутри этой окружности: - Для \( z_1 = 0 \): \( |0| = 0 < \frac{1}{2} \) — точка лежит внутри контура. - Для \( z_2 = i \): \( |i| = 1 > \frac{1}{2} \) — точка лежит вне контура. - Для \( z_3 = -i \): \( |-i| = 1 > \frac{1}{2} \) — точка лежит вне контура. 3. Так как внутри контура находится только одна особая точка \( z_1 = 0 \), то по основной теореме о вычетах: \[ I = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, 0) \] 4. Точка \( z_1 = 0 \) является простым полюсом. Вычислим вычет в этой точке: \[ \text{Res}(f, 0) = \lim_{z \to 0} (z - 0) \cdot \frac{1}{z(z^2+1)} = \lim_{z \to 0} \frac{1}{z^2+1} = \frac{1}{0^2+1} = 1 \] 5. Вычисляем значение интеграла: \[ I = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i \] Ответ: \( 2\pi i \)