Решение задачи: Область определения функции z = sqrt(cos(π/2(x^2 + y^2)))

Для решения данной задачи необходимо найти область определения функции \( z = \sqrt{\cos \frac{\pi}{2}(x^2 + y^2)} \). Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: \[ \cos \left( \frac{\pi}{2}(x^2 + y^2) \right) \ge 0 \] Пусть \( t = x^2 + y^2 \). Заметим, что \( t \ge 0 \), так как это сумма квадратов. Тогда неравенство принимает вид: \[ \cos \left( \frac{\pi}{2} t \right) \ge 0 \] Вспомним, что косинус положителен в первой и четвертой четвертях тригонометрического круга, то есть: \[ -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le \frac{\pi}{2} t \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] Разделим все части неравенства на \( \frac{\pi}{2} \): \[ -1 + 4k \le t \le 1 + 4k, \quad k \in \mathbb{Z} \] Рассмотрим значения \( k \), при которых \( t \ge 0 \): 1. При \( k = 0 \): \[ -1 \le t \le 1 \] С учетом \( t \ge 0 \), получаем интервал \( 0 \le t \le 1 \). В переменных \( x, y \): \( 0 \le x^2 + y^2 \le 1 \). Это соответствует первому варианту ответа. 2. При \( k = 1 \): \[ -1 + 4 \le t \le 1 + 4 \] \[ 3 \le t \le 5 \] В переменных \( x, y \): \( 3 \le x^2 + y^2 \le 5 \). Это соответствует третьему варианту ответа. 3. При \( k = 2 \): \[ -1 + 8 \le t \le 1 + 8 \] \[ 7 \le t \le 9 \] (Такого варианта в списке нет). Проверим остальные варианты: - Вариант \( 2 \le x^2 + y^2 \le 4 \): при \( t = 2 \), \( \cos(\frac{\pi}{2} \cdot 2) = \cos(\pi) = -1 < 0 \). Не подходит. - Вариант \( 1 \le x^2 + y^2 \le 2 \): при \( t = 1.5 \), \( \cos(\frac{\pi}{2} \cdot 1.5) = \cos(\frac{3\pi}{4}) < 0 \). Не подходит. Таким образом, правильными ответами являются: 1. \( \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 0 \le x^2 + y^2 \le 1 \} \) 2. \( \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 3 \le x^2 + y^2 \le 5 \} \)