Решение: Нахождение частной производной ∂z/∂x

Задание: Найти частную производную \(\frac{\partial z}{\partial x}\) функции \(z = 2x^2y - \frac{xy^3}{3} + x - 4y + 5\). Решение: Для нахождения частной производной по переменной \(x\), мы считаем переменную \(y\) константой (постоянной величиной) и дифференцируем выражение по правилам нахождения производной одной переменной. \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( 2x^2y - \frac{xy^3}{3} + x - 4y + 5 \right) \] Разберем каждое слагаемое отдельно: 1. Производная от \(2x^2y\): так как \(2\) и \(y\) — константы, выносим их за знак производной. Производная от \(x^2\) равна \(2x\). Получаем: \[ (2x^2y)'_x = 2y \cdot 2x = 4xy \] 2. Производная от \(-\frac{xy^3}{3}\): здесь константой является \(-\frac{y^3}{3}\). Производная от \(x\) равна \(1\). Получаем: \[ \left( -\frac{xy^3}{3} \right)'_x = -\frac{y^3}{3} \cdot 1 = -\frac{y^3}{3} \] 3. Производная от \(x\) равна \(1\): \[ (x)'_x = 1 \] 4. Производная от \(-4y\) и \(+5\): так как в этих слагаемых нет переменной \(x\), они считаются константами, а производная константы равна \(0\): \[ (-4y + 5)'_x = 0 \] Складываем полученные результаты: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 4xy - \frac{y^3}{3} + 1 \] Ответ: Третий вариант в списке. \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 4xy - \frac{y^3}{3} + 1 \]