Решение: Частная производная z = x^y + e^(xy) по y

Задание: Для функции \(z = x^y + e^{xy}\) найти частную производную \(\frac{\partial z}{\partial y}\). Решение: При нахождении частной производной по переменной \(y\), переменная \(x\) рассматривается как постоянная величина (константа). \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^y + e^{xy}) \] Применим правила дифференцирования для каждого слагаемого: 1. Рассмотрим первое слагаемое \(x^y\). Так как основание \(x\) — константа, а переменная \(y\) находится в показателе степени, это показательная функция (вида \(a^u\)). Формула производной: \((a^u)' = a^u \ln a \cdot u'\). В нашем случае: \[ (x^y)'_y = x^y \ln x \] 2. Рассмотрим второе слагаемое \(e^{xy}\). Это сложная функция вида \(e^u\), где \(u = xy\). Формула производной: \((e^u)' = e^u \cdot u'\). Так как мы дифференцируем по \(y\), то \((xy)'_y = x \cdot (y)'_y = x \cdot 1 = x\). Получаем: \[ (e^{xy})'_y = e^{xy} \cdot (xy)'_y = e^{xy} \cdot x = x e^{xy} \] Складываем результаты: \[ \frac{\partial z}{\partial y} = x^y \ln x + x e^{xy} \] Ответ: Первый вариант в списке. \[ \frac{\partial z}{\partial y} = x^y \ln x + x e^{xy} \]