Нахождение частных производных функции z = sin(xy³)

Задание: Для функции \(z = \sin(xy^3)\) найти частные производные \(\frac{\partial z}{\partial x}\) (или \(z'_x\)) и \(\frac{\partial z}{\partial y}\) (или \(z'_y\)). Решение: Данная функция является сложной функцией вида \(\sin(u)\), где \(u = xy^3\). Производная синуса равна косинусу, умноженному на производную внутренней функции: \((\sin u)' = \cos u \cdot u'\). 1. Находим частную производную по \(x\) (\(z'_x\)). При этом \(y\) считаем константой: \[ z'_x = \cos(xy^3) \cdot (xy^3)'_x \] Так как \(y^3\) — это постоянный множитель, а производная \(x\) по \(x\) равна \(1\): \[ (xy^3)'_x = y^3 \cdot 1 = y^3 \] Следовательно: \[ z'_x = y^3 \cos(xy^3) \] 2. Находим частную производную по \(y\) (\(z'_y\)). При этом \(x\) считаем константой: \[ z'_y = \cos(xy^3) \cdot (xy^3)'_y \] Так как \(x\) — это постоянный множитель, а производная \(y^3\) по \(y\) равна \(3y^2\): \[ (xy^3)'_y = x \cdot 3y^2 = 3xy^2 \] Следовательно: \[ z'_y = 3xy^2 \cos(xy^3) \] Сверяем полученные результаты с вариантами ответов на картинке: - Для \(z'_x\) подходит третий вариант: \(z'_x = y^3 \cos(xy^3)\). - Для \(z'_y\) подходит пятый вариант: \(z'_y = 3xy^2 \cos(xy^3)\). Ответ: Необходимо выбрать два варианта: \[ z'_x = y^3 \cos(xy^3) \] \[ z'_y = 3xy^2 \cos(xy^3) \]