Решение: Полный дифференциал функции z = x + sin(2y)/x в точке A(1; π)

Задание: Записать полный дифференциал функции \(z = x + \frac{\sin 2y}{x}\) в точке \(A(1; \pi)\). Решение: Полный дифференциал функции двух переменных вычисляется по формуле: \[ dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy \] 1. Найдем частную производную по \(x\): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( x + \frac{\sin 2y}{x} \right) = 1 + \sin 2y \cdot \left( \frac{1}{x} \right)'_x = 1 - \frac{\sin 2y}{x^2} \] Вычислим значение этой производной в точке \(A(1; \pi)\): \[ \frac{\partial z}{\partial x}(1; \pi) = 1 - \frac{\sin(2\pi)}{1^2} = 1 - \frac{0}{1} = 1 \] 2. Найдем частную производную по \(y\): \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( x + \frac{\sin 2y}{x} \right) = 0 + \frac{1}{x} \cdot (\sin 2y)'_y = \frac{1}{x} \cdot \cos 2y \cdot 2 = \frac{2 \cos 2y}{x} \] Вычислим значение этой производной в точке \(A(1; \pi)\): \[ \frac{\partial z}{\partial y}(1; \pi) = \frac{2 \cos(2\pi)}{1} = \frac{2 \cdot 1}{1} = 2 \] 3. Подставим найденные значения в формулу полного дифференциала: \[ dz = 1 \cdot dx + 2 \cdot dy \] \[ dz = dx + 2dy \] Ответ: \[ dz = dx + 2dy \]