Решение: Полный дифференциал функции z=xy/(x^2-y^2)

Задание: Найдите значение полного дифференциала функции \(z = \frac{xy}{x^2 - y^2}\) при \(x = 2\), \(y = 1\), \(\Delta x = 0,01\), \(\Delta y = 0,03\). Решение: Полный дифференциал функции вычисляется по формуле: \[ dz = \frac{\partial z}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial z}{\partial y} \Delta y \] 1. Найдем частную производную по \(x\), используя правило производной частного \(\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{(xy)'_x (x^2 - y^2) - xy (x^2 - y^2)'_x}{(x^2 - y^2)^2} = \frac{y(x^2 - y^2) - xy(2x)}{(x^2 - y^2)^2} = \frac{yx^2 - y^3 - 2x^2y}{(x^2 - y^2)^2} = \frac{-x^2y - y^3}{(x^2 - y^2)^2} \] Вычислим значение при \(x = 2, y = 1\): \[ \frac{\partial z}{\partial x}(2; 1) = \frac{-2^2 \cdot 1 - 1^3}{(2^2 - 1^2)^2} = \frac{-4 - 1}{(4 - 1)^2} = \frac{-5}{3^2} = -\frac{5}{9} \] 2. Найдем частную производную по \(y\): \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{(xy)'_y (x^2 - y^2) - xy (x^2 - y^2)'_y}{(x^2 - y^2)^2} = \frac{x(x^2 - y^2) - xy(-2y)}{(x^2 - y^2)^2} = \frac{x^3 - xy^2 + 2xy^2}{(x^2 - y^2)^2} = \frac{x^3 + xy^2}{(x^2 - y^2)^2} \] Вычислим значение при \(x = 2, y = 1\): \[ \frac{\partial z}{\partial y}(2; 1) = \frac{2^3 + 2 \cdot 1^2}{(2^2 - 1^2)^2} = \frac{8 + 2}{3^2} = \frac{10}{9} \] 3. Подставим все значения в формулу дифференциала (\(\Delta x = 0,01 = \frac{1}{100}\), \(\Delta y = 0,03 = \frac{3}{100}\)): \[ dz = -\frac{5}{9} \cdot 0,01 + \frac{10}{9} \cdot 0,03 = -\frac{0,05}{9} + \frac{0,30}{9} = \frac{0,25}{9} \] Переведем в обыкновенную дробь: \[ \frac{0,25}{9} = \frac{25}{900} = \frac{1}{36} \] Согласно условию, дробный ответ записываем через / без пробелов. Ответ: 1/36