Решение: Приближенное вычисление значения функции с помощью дифференциала

Задание: Вычислите приближенно с помощью дифференциала значение функции \(z = f(x, y)\) в точке \(M(0,99; 3,03)\), если \(f(1, 3) = 1\), \(\frac{\partial f}{\partial x}(1, 3) = -1\), \(\frac{\partial f}{\partial y}(1, 3) = 1\). Решение: Для приближенного вычисления значения функции используется формула: \[ f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) \approx f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) \cdot \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) \cdot \Delta y \] 1. Определим начальную точку \((x_0, y_0)\) и приращения \(\Delta x, \Delta y\): Нам даны значения в точке \((1, 3)\), значит: \[ x_0 = 1, \quad y_0 = 3 \] Точка, в которой нужно найти значение: \(x = 0,99\), \(y = 3,03\). Находим приращения: \[ \Delta x = x - x_0 = 0,99 - 1 = -0,01 \] \[ \Delta y = y - y_0 = 3,03 - 3 = 0,03 \] 2. Подставим известные значения в формулу: \[ f(1, 3) = 1 \] \[ \frac{\partial f}{\partial x}(1, 3) = -1 \] \[ \frac{\partial f}{\partial y}(1, 3) = 1 \] \[ f(0,99; 3,03) \approx 1 + (-1) \cdot (-0,01) + 1 \cdot 0,03 \] 3. Выполним вычисления: \[ f(0,99; 3,03) \approx 1 + 0,01 + 0,03 = 1,04 \] Ответ: 1,04