Решение задачи: Объем материала цилиндрического стакана

Задание: Цилиндрический стакан имеет внутренние размеры: радиус основания \(R = 2,5\) м, высоту \(H = 4\) м и толщину стенок \(l = 1\) дм. Найти приближенно объем материала, затраченного на изготовление стакана. Решение: Объем материала стакана можно рассматривать как приращение объема цилиндра при изменении его радиуса и высоты. Объем цилиндра вычисляется по формуле: \[ V = \pi R^2 H \] Приближенное значение объема материала (изменения объема) находится через полный дифференциал: \[ dV = \frac{\partial V}{\partial R} dR + \frac{\partial V}{\partial H} dH \] 1. Переведем все данные в одну систему единиц (метры): \(R = 2,5\) м \(H = 4\) м Толщина стенок и дна \(l = 1\) дм \(= 0,1\) м. Следовательно, приращение радиуса \(dR = 0,1\) м, а приращение высоты (за счет дна) \(dH = 0,1\) м. 2. Найдем частные производные: \[ \frac{\partial V}{\partial R} = 2\pi RH \] \[ \frac{\partial V}{\partial H} = \pi R^2 \] 3. Подставим значения в формулу дифференциала: \[ dV = (2\pi RH) \cdot dR + (\pi R^2) \cdot dH \] \[ dV = 2 \cdot \pi \cdot 2,5 \cdot 4 \cdot 0,1 + \pi \cdot (2,5)^2 \cdot 0,1 \] 4. Вычислим: \[ dV = 2\pi \cdot 1 = 2\pi \] (для первого слагаемого: \(2 \cdot 2,5 \cdot 4 \cdot 0,1 = 2\)) \[ dV = 2\pi + 6,25 \cdot 0,1 \cdot \pi = 2\pi + 0,625\pi = 2,625\pi \] Если требуется числовой ответ (при \(\pi \approx 3,14159\)): \[ dV \approx 2,625 \cdot 3,14159 \approx 8,2466... \] Обычно в таких задачах ответ оставляют через \(\pi\) или округляют. Если в поле ввода нужно ввести число, чаще всего используют \(\pi \approx 3,14\). \[ 2,625 \cdot 3,14 = 8,2425 \] Ответ: 2,625\(\pi\) (или приближенно 8,24)