Решение задачи: частные производные неявной функции

Задание: Для функции \(z(x, y)\), заданной уравнением \(5x^2yz - xy^2 + z = 7\), вычислить значение выражения \(6 \frac{\partial z}{\partial x}(M) + 12 \frac{\partial z}{\partial y}(M)\), если \(M(-1; 1; 1)\). Решение: Функция задана неявно уравнением \(F(x, y, z) = 0\), где \(F(x, y, z) = 5x^2yz - xy^2 + z - 7\). Частные производные неявной функции находятся по формулам: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F'_x}{F'_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F'_y}{F'_z} \] 1. Найдем частные производные функции \(F\): \[ F'_x = \frac{\partial}{\partial x}(5x^2yz - xy^2 + z - 7) = 10xyz - y^2 \] \[ F'_y = \frac{\partial}{\partial y}(5x^2yz - xy^2 + z - 7) = 5x^2z - 2xy \] \[ F'_z = \frac{\partial}{\partial z}(5x^2yz - xy^2 + z - 7) = 5x^2y + 1 \] 2. Вычислим значения этих производных в точке \(M(-1; 1; 1)\): \[ F'_x(M) = 10(-1)(1)(1) - (1)^2 = -10 - 1 = -11 \] \[ F'_y(M) = 5(-1)^2(1) - 2(-1)(1) = 5 + 2 = 7 \] \[ F'_z(M) = 5(-1)^2(1) + 1 = 5 + 1 = 6 \] 3. Найдем частные производные \(z\) по \(x\) и \(y\): \[ \frac{\partial z}{\partial x}(M) = -\frac{-11}{6} = \frac{11}{6} \] \[ \frac{\partial z}{\partial y}(M) = -\frac{7}{6} \] 4. Вычислим значение искомого выражения: \[ 6 \cdot \frac{\partial z}{\partial x}(M) + 12 \cdot \frac{\partial z}{\partial y}(M) = 6 \cdot \left( \frac{11}{6} \right) + 12 \cdot \left( -\frac{7}{6} \right) \] \[ = 11 + 2 \cdot (-7) = 11 - 14 = -3 \] Ответ: -3