Полный дифференциал неявно заданной функции: Решение

Задание: Записать полный дифференциал \(dz\) функции, заданной неявно уравнением \(4xy^3 - 2yz^4 + y^2z = 5\), в точке \(M(2, 1, -1)\). Решение: Полный дифференциал неявно заданной функции \(F(x, y, z) = 0\) вычисляется по формуле: \[ dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy \] где частные производные находятся как: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F'_x}{F'_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F'_y}{F'_z} \] 1. Обозначим \(F(x, y, z) = 4xy^3 - 2yz^4 + y^2z - 5 = 0\). Найдем частные производные функции \(F\): \[ F'_x = \frac{\partial}{\partial x}(4xy^3 - 2yz^4 + y^2z - 5) = 4y^3 \] \[ F'_y = \frac{\partial}{\partial y}(4xy^3 - 2yz^4 + y^2z - 5) = 12xy^2 - 2z^4 + 2yz \] \[ F'_z = \frac{\partial}{\partial z}(4xy^3 - 2yz^4 + y^2z - 5) = -8yz^3 + y^2 \] 2. Вычислим значения производных в точке \(M(2, 1, -1)\): \[ F'_x(M) = 4 \cdot 1^3 = 4 \] \[ F'_y(M) = 12 \cdot 2 \cdot 1^2 - 2 \cdot (-1)^4 + 2 \cdot 1 \cdot (-1) = 24 - 2 - 2 = 20 \] \[ F'_z(M) = -8 \cdot 1 \cdot (-1)^3 + 1^2 = 8 + 1 = 9 \] 3. Найдем частные производные \(z\): \[ \frac{\partial z}{\partial x}(M) = -\frac{4}{9} \] \[ \frac{\partial z}{\partial y}(M) = -\frac{20}{9} \] 4. Запишем полный дифференциал: \[ dz = -\frac{4}{9} dx - \frac{20}{9} dy \] Ответ: \[ dz = -4/9dx-20/9dy \]