Полный Дифференциал dz: Решение Неявно Заданной Функции

Задание: Записать полный дифференциал \( dz \) функции, заданной неявно уравнением \( 4xy^3 - 2yz^4 + y^2z = 5 \), в точке \( M(2, 1, -1) \). Решение: 1. Обозначим левую часть уравнения как функцию трех переменных: \[ F(x, y, z) = 4xy^3 - 2yz^4 + y^2z - 5 = 0 \] 2. Найдем частные производные функции \( F \) в произвольной точке: \[ F'_x = \frac{\partial F}{\partial x} = 4y^3 \] \[ F'_y = \frac{\partial F}{\partial y} = 12xy^2 - 2z^4 + 2yz \] \[ F'_z = \frac{\partial F}{\partial z} = -8yz^3 + y^2 \] 3. Вычислим значения частных производных в заданной точке \( M(2, 1, -1) \): \[ F'_x(M) = 4 \cdot 1^3 = 4 \] \[ F'_y(M) = 12 \cdot 2 \cdot 1^2 - 2 \cdot (-1)^4 + 2 \cdot 1 \cdot (-1) = 24 - 2 - 2 = 20 \] \[ F'_z(M) = -8 \cdot 1 \cdot (-1)^3 + 1^2 = 8 + 1 = 9 \] 4. Частные производные неявной функции \( z(x, y) \) находятся по формулам: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F'_x}{F'_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F'_y}{F'_z} \] Подставим значения в точке \( M \): \[ \frac{\partial z}{\partial x}(M) = -\frac{4}{9} \] \[ \frac{\partial z}{\partial y}(M) = -\frac{20}{9} \] 5. Полный дифференциал функции \( dz \) вычисляется по формуле: \[ dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy \] Подставляем найденные значения: \[ dz = -\frac{4}{9} dx - \frac{20}{9} dy \] Ответ: \[ dz = -\frac{4}{9} dx - \frac{20}{9} dy \]