Решение задачи: Производная функции в начале координат

Задание: Вычислить значение производной функции \( z = x - y \) в начале координат в направлении вектора \( \vec{l} = (-3; -4) \). Решение: 1. Начало координат — это точка \( O(0, 0) \). 2. Найдем частные производные функции \( z = x - y \): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 1 \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = -1 \] В данной задаче производные являются константами, поэтому в точке \( O(0, 0) \) они имеют те же значения. 3. Найдем длину вектора \( \vec{l} = (-3; -4) \): \[ |\vec{l}| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] 4. Найдем направляющие косинусы вектора \( \vec{l} \) (координаты единичного вектора \( \vec{l^0} \)): \[ \cos \alpha = \frac{x_l}{|\vec{l}|} = \frac{-3}{5} = -0,6 \] \[ \cos \beta = \frac{y_l}{|\vec{l}|} = \frac{-4}{5} = -0,8 \] 5. Вычислим производную по направлению по формуле: \[ \frac{\partial z}{\partial l} = \frac{\partial z}{\partial x} \cos \alpha + \frac{\partial z}{\partial y} \cos \beta \] Подставляем значения: \[ \frac{\partial z}{\partial l} = 1 \cdot (-0,6) + (-1) \cdot (-0,8) \] \[ \frac{\partial z}{\partial l} = -0,6 + 0,8 = 0,2 \] Ответ: 0,2