Найти градиент функции z = e^(x/2)(x + y^2) в точке M(-2, 0). Решение

Задание: Найти градиент функции \( z = e^{\frac{x}{2}}(x + y^2) \) в точке \( M(-2, 0) \). Решение: 1. Градиент функции \( z(x, y) \) — это вектор, координатами которого являются частные производные: \[ \text{grad } z = \left( \frac{\partial z}{\partial x}; \frac{\partial z}{\partial y} \right) \] 2. Найдем частную производную по \( x \), используя правило производной произведения \( (uv)' = u'v + uv' \): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = (e^{\frac{x}{2}})' \cdot (x + y^2) + e^{\frac{x}{2}} \cdot (x + y^2)'_x \] \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}} (x + y^2) + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1 = e^{\frac{x}{2}} \left( \frac{x + y^2}{2} + 1 \right) \] Вычислим значение в точке \( M(-2, 0) \): \[ \frac{\partial z}{\partial x}(M) = e^{\frac{-2}{2}} \left( \frac{-2 + 0^2}{2} + 1 \right) = e^{-1} (-1 + 1) = e^{-1} \cdot 0 = 0 \] 3. Найдем частную производную по \( y \): \[ \frac{\partial z}{\partial y} = e^{\frac{x}{2}} \cdot (x + y^2)'_y = e^{\frac{x}{2}} \cdot 2y \] Вычислим значение в точке \( M(-2, 0) \): \[ \frac{\partial z}{\partial y}(M) = e^{\frac{-2}{2}} \cdot 2 \cdot 0 = 0 \] 4. Таким образом, градиент в точке \( M \) равен: \[ \text{grad } z(M) = (0; 0) \] Согласно инструкции в задании, ответ нужно записать латинскими буквами без пробелов. Ответ: grad z(M)=(0;0)